Linguaggio regolare

In informatica teorica un linguaggio regolare è un linguaggio formale, ossia costituito da un insieme di stringhe costruite con un alfabeto finito, che è descritto da un'espressione regolare, generato da una grammatica generativa regolare (o di tipo 3, secondo la gerarchia di Chomsky) o accettato da un automa a stati finiti (automa a stati finiti deterministico o automa a stati finiti non deterministico).

Linguaggi regolari basati su un alfabeto

L'insieme dei linguaggi regolari basati su un alfabeto $\mathrm{\Sigma }$ è definito ricorsivamente come segue:

• il linguaggio vuoto $\mathrm{\varnothing }$ è un linguaggio regolare.
• il linguaggio $\left\{ϵ\right\}$ contenente la sola stringa vuota è un linguaggio regolare.
• per ogni carattere $a\in \mathrm{\Sigma }$, il linguaggio singleton $\left\{a\right\}$ è un linguaggio regolare.
• se $A$ e $B$ sono linguaggi regolari allora $A\cup B$, $A\circ B$, e $A^{*}$ sono linguaggi regolari.
• nessun altro linguaggio su $\mathrm{\Sigma }$ è regolare.

Tutti i linguaggi finiti sono regolari. Un altro tipico esempio include il linguaggio che consiste di tutte le stringhe dell'alfabeto $\{a,b\}$ e che contiene un numero pari di a, o il linguaggio consistente di tutte le stringhe nella forma: zero o più a seguite da zero o più b.

Proprietà di chiusura

I linguaggi regolari sono chiusi rispetto alle seguenti operazioni:

• $\overline{L}$ complemento
• $L^{*}$ stella di kleene
• $L_1\circ L_2$ concatenazione
• $L_1\cup L_2$ unione
• $L_1\cap L_2$ intersezione
• $L_1\setminus L_2$ differenza
• $L_1^R$ riflesso

Problemi legati ai linguaggi regolari

Nella gerarchia di Chomsky i linguaggi regolari corrispondono ai linguaggi generati da grammatiche di tipo 3. È possibile stabilire se un linguaggio è regolare o meno utilizzando il teorema di Myhill-Nerode. È invece possibile dimostrare che un linguaggio non è regolare utilizzando il pumping lemma per i linguaggi regolari.

Dati due linguaggi regolari $L_1$ ed $L_2$ è possibile verificare l'inclusione $L_1\subseteq L_2$ utilizzando le proprietà di chiusura. Per questo motivo è possibile stabilire se due linguaggi regolari sono equivalenti.

Approccio algebrico

Ci sono due approcci algebrici puri per definire i linguaggi regolari. Se $\mathrm{\Sigma }$ è un alfabeto finito e ${\mathrm{\Sigma }}^{*}$ denota il monoide libero su $\mathrm{\Sigma }$ consistente di tutte le stringhe su $\mathrm{\Sigma }$, $f:{\mathrm{\Sigma }}^{*}\to M$ è un omomorfismo di monoide dove $M$ è un monoide finito, e $S$ è un sottoinsieme di $M$, dove la funzione inversa $f^{-1}(S)$ è regolare. Ogni linguaggio regolare si presenta in questa forma.

Se $L$ è un sottoinsieme di ${\mathrm{\Sigma }}^{*}$, si può definire una relazione di equivalenza $\sim$ in ${\mathrm{\Sigma }}^{*}$ come segue: $u\sim v$ è definita

$uw\in L⟺vw\in L\text{ per ogni }w\in {\mathrm{\Sigma }}^{*}$

Il linguaggio $L$ è regolare se e solo se il numero di classi equivalenti di $\sim$ è finito; in questo caso, questo numero è uguale al numero degli stati del minimo automa a stati finiti deterministico che accetti $L$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Espressione regolare
• Grammatica regolare
• Automa a stati finiti
• Linguaggio ω-regolare

Collegamenti esterni

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