Matrice hermitiana

In algebra lineare una matrice hermitiana (dal nome del matematico francese Charles Hermite) o matrice autoaggiunta è una matrice a valori complessi che coincide con la propria trasposta coniugata (o matrice aggiunta). Una matrice hermitiana con elementi nel campo dei numeri reali è dunque una matrice simmetrica.

Le matrici hermitiane sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali reali.

Definizione

Una matrice $A$ di elementi $a_{i,j}$ è hermitiana se l'elemento nella i-esima riga e j-esima colonna è uguale al complesso coniugato dell'elemento nella j-esima riga e i-esima colonna (per tutti gli indici i e j), ovvero:

$a_{i,j}={\overline{a}}_{j,i}$

Se i suoi elementi sono tutti reali una matrice hermitiana coincide con la propria trasposta, ed è quindi una matrice simmetrica.

Spesso la matrice trasposta coniugata di $A$ è denotata con $A^{†}$, quindi se $A$ è hermitiana si scrive:

$A=A^{†}$

Si deve notare che, a seconda degli autori, l'asterisco $A^{*}$ è usato per indicare sia la complessa coniugata $\bar{A}$ che $A^{†}$.

Un esempio di matrice hermitiana è:

$\left(\begin{array}{cc}3& 2+i\\ 2-i& 1\end{array}\right)$

Proprietà

Ogni matrice hermitiana è una matrice quadrata della forma $A=B+iC$, dove $B$ è una matrice simmetrica (uguale alla propria trasposta) a componenti reali e $C$ è una matrice antisimmetrica (opposta alla propria trasposta) a componenti reali, e viceversa. In particolare, gli elementi sulla diagonale principale di una matrice hermitiana sono reali, ed una matrice a componenti reali è hermitiana se e solo se è simmetrica.

Sono matrici hermitiane la somma di due matrici hermitiane e l'inversa di una matrice hermitiana invertibile. Il prodotto di due matrici hermitiane $A$ e $B$, invece, è una matrice hermitiana se e solo se queste commutano, cioè se $AB=BA$.

L'insieme delle matrici hermitiane di ordine n è uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali di dimensione $n^2$: gli n elementi sulla diagonale sono reali e gli n(n-1) altri elementi sono coppie di numeri coniugati complessi ($x+iy$ e $x-iy$), quindi a coppie definiti da una coppia di numeri reali. Non è invece uno spazio vettoriale sui numeri complessi, in quanto $i{I}_n$ non è hermitiana (mentre lo è $I_n$).

Ogni matrice hermitiana $A$ di ordine finito è normale e per essa vale il teorema spettrale: $A$ è diagonalizzabile tramite una matrice unitaria e possiede solo autovalori reali; in particolare, autovettori relativi a distinti autovalori di $A$ sono tra loro ortogonali (secondo il prodotto hermitiano standard) ed è possibile trovare una base ortonormale di ${ℂ}^n$ formata solo da autovettori di $A$. Se n autovettori ortonormali $u_1,\dots ,u_n$ di una matrice hermitiana $A$ sono scritti come colonne di una matrice $U$, allora la decomposizione spettrale di $A$ è data da:

$A=UD{U}^{†}$

dove $U{U}^{†}=I=U^{†}U$ e dunque:

$A=\sum _j{\lambda }_j{u}_j{u}_j^{†}$

dove ${\lambda }_j$ sono gli autovalori sulla diagonale della matrice diagonale $D$.

Se gli autovalori di una matrice hermitiana sono tutti positivi la matrice è detta definita positiva, mentre se sono tutti non negativi, la matrice si dice semidefinita positiva.

Il determinante di una matrice hermitiana è reale. Infatti, $\det (A)=\det (A^{\mathrm{T}})$ da cui $\det (A^{†})=\det (A{)}^{*}$; quindi se $A=A^{†}$ allora $\det (A)=\det (A{)}^{*}$. In alternativa, si può notare che il determinante è il prodotto degli autovalori, che sono reali.

Bibliografia

• Template:En F.R. Gantmacher, Matrix theory , 1–2 , Chelsea, reprint (1959)
• Template:En B. Noble, J.W. Daniel, Applied linear algebra , Prentice-Hall (1979)

Voci correlate

• Operatore aggiunto
• Operatore autoaggiunto
• Matrice normale
• Matrice simmetrica
• Matrice trasposta coniugata
• Teorema di Schur-Horn
• Quoziente di Rayleigh

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni
• Template:En Visualizing Hermitian Matrix as An Ellipse with Dr. Geo, by Chao-Kuei Hung from Shu-Te University, gives a more geometric explanation.