Funzione di Onsager-Machlup

La funzione Onsager–Machlup è una funzione che riassume la dinamica di un processo stocastico continuo. Viene utilizzato per definire una funzione di densità di probabilità per un processo stocastico ed è simile alla Lagrangiana di un sistema dinamico . Prende il nome da Lars Onsager e Stefan Machlup che furono i primi a considerare tali densità di probabilità.

La dinamica di un processo stocastico continuo X dal tempo t = 0 a t = T in una dimensione, che soddisfa un'equazione differenziale stocastica $d{X}_t=b(X_t)dt+\sigma (X_t)d{W}_t$ dove W è un processo di Wiener, può essere descritto approssimativamente dalla funzione di densità di probabilità del suo valore $x_i$ in un numero finito di punti nel tempo $t_i$:

$p(x_1,\dots ,x_n)=\left(\prod _{i=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma (x_i{)}^2\mathrm{\Delta }{t}_i}}\right)\exp (-\sum _{i=1}^{n-1}L(x_i,\frac{x_{i+1}-x_i}{\mathrm{\Delta }{t}_i})\mathrm{\Delta }{t}_i)$ dove $L(x,v)=\frac{1}{2}{\left(\frac{v-b(x)}{\sigma (x)}\right)}^2$e $\mathrm{\Delta }{t}_i=t_{i+1}-t_i>0$, $t_1=0$ e $t_n=T$.

Un'approssimazione simile è possibile per processi in dimensioni superiori.

L'approssimazione è più accurata per $\mathrm{\Delta }{t}_i$ molto piccoli, ma nel limite $\mathrm{\Delta }{t}_i\to 0$ la funzione di densità di probabilità diventa mal definita, uno dei motivi è che il prodotto dei termini $\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma (x_i{)}^2\mathrm{\Delta }{t}_i}}$ diverge all'infinito.

Nonostante questo, per definire una densità per il processo stocastico continuo X, si considerano comunque i rapporti di probabilità di X che giaciono entro una piccola distanza ε dalle curve lisce ${\phi }_1$ e ${\phi }_2$:

$\frac{P(|X_t-{\phi }_1(t)|\le \epsilon \text{ for every }t\in [0,T])}{P(|X_t-{\phi }_2(t)|\le \epsilon \text{ for every }t\in [0,T])}\to \exp (-\underset{0}{\overset{T}{\int }}L({\phi }_1(t),{\dot{\phi }}_1(t))dt+\underset{0}{\overset{T}{\int }}L({\phi }_2(t),{\dot{\phi }}_2(t))dt)$ con ε → 0, dove L è la funzione di Onsager-Machlup .

Definizione

Consideriamo una varietà Riemanniana con d-dimensioni $M$ e un processo di diffusione $X=\{X_t:0\le t\le T\}$ su $M$ con generatore infinitesimale $1/2{\mathrm{\Delta }}_M+b$ dove ${\mathrm{\Delta }}_M$ è l'operatore Laplace-Beltrami e $b$ è un campo vettoriale.

Per ogni coppia di curve lisce qualsiasi ${\phi }_1,{\phi }_2:[0,T]\to M$ vale:

$\underset{\epsilon \downarrow 0}{\lim }\frac{P(\rho (X_t,{\phi }_1(t))\le \epsilon \text{ for every }t\in [0,T])}{P(\rho (X_t,{\phi }_2(t))\le \epsilon \text{ for every }t\in [0,T])}=\exp (-\underset{0}{\overset{T}{\int }}L({\phi }_1(t),{\dot{\phi }}_1(t))dt+\underset{0}{\overset{T}{\int }}L({\phi }_2(t),{\dot{\phi }}_2(t))dt)$ dove $\rho$ è la distanza Riemanniana, ${\dot{\phi }}_1,{\dot{\phi }}_2$ denotano le derivate prime di ${\phi }_1$, ${\phi }_2$, e $L$ è chiamata funzione di Onsager–Machlup.

La funzione Onsager–Machlup è data da:

$L(x,v)=\frac{1}{2}\Vert v-b(x){\Vert }_x^2+\frac{1}{2}\mathrm{div}b(x)-\frac{1}{12}R(x)$ dove $\Vert \cdot {\Vert }_x$ è la norma Riemanniana nello spazio tangente $T_x(M)$ in x, $divb(x)$ è la divergenza di $b$ in x, e $R(x)$ è la curvatura scalare in x.

Esempi

Gli esempi seguenti forniscono espressioni esplicite per la funzione Onsager-Machlup di processi stocastici continui.

Processo di Wiener sulla retta reale

La funzione Onsager-Machlup di un processo di Wiener sulla retta reale R è data da: $L(x,v)=\frac{1}{2}|v{|}^2$

Dimostrazione:

Sia $X=\{X_t:0\le t\le T\}$ un processo di Wiener su R e sia φ : [0, T ] → R una curva differenziabile due volte tale che $\phi (0)=X_0$.

Definire un altro processo $X^{\phi }=\{X_t^{\phi }:0\le t\le T\}$ per $X_t^{\phi }=X_t-\phi (t)$ e una misura $P^{\phi }$ per $P^{\phi }=\exp (\underset{0}{\overset{T}{\int }}\dot{\phi }(t)d{X}_t^{\phi }+\underset{0}{\overset{T}{\int }}\frac{1}{2}{|\dot{\phi }(t)|}^{2}dt)dP.$

Per ogni ε > 0, la probabilità che $|X_t-\phi (t)|\le ϵ$ per ogni t ∈ [0, T] soddisfi

$\begin{array}{cc}P(|X_t-\phi (t)|\le \epsilon \text{ for every }t\in [0,T])& =P(\left|X_t^{\phi }\right|\le \epsilon \text{ for every }t\in [0,T])\\ & =\underset{\{\left|X_t^{\phi }\right|\le \epsilon \text{ for every }t\in [0,T]\}}{\int }\exp (-\underset{0}{\overset{T}{\int }}\dot{\phi }(t)d{X}_t^{\phi }-\underset{0}{\overset{T}{\int }}\frac{1}{2}|\dot{\phi }(t){|}^{2}dt)d{P}^{\phi }.\end{array}$

Per il teorema di Girsanov, la distribuzione di Xφ sotto Pφ è uguale alla distribuzione di X sotto P, quindi quest'ultima può essere sostituita dalla prima:

$P(|X_t-\phi (t)|\le \epsilon \text{ for every }t\in [0,T])=\underset{\{\left|X_t^{\phi }\right|\le \epsilon \text{ for every }t\in [0,T]\}}{\int }\exp (-\underset{0}{\overset{T}{\int }}\dot{\phi }(t)d{X}_t-\underset{0}{\overset{T}{\int }}\frac{1}{2}|\dot{\phi }(t){|}^{2}dt)dP.$

Per il lemma di Itō vale la seguente equaglianza:

$\underset{0}{\overset{T}{\int }}\dot{\phi }(t)d{X}_t=\dot{\phi }(T)X_T-\underset{0}{\overset{T}{\int }}\ddot{\phi }(t)X_{t}dt,$

Dove $\ddot{\phi }$ è la derivata seconda di φ, e quindi questo termine è di ordine ε nell'evento in cui $|X_t|\le ϵ$ per ogni t ∈ [0, T ] e scomparirà nel limite ε → 0, quindi

$\underset{\epsilon \downarrow 0}{\lim }\frac{P(|X_t-\phi (t)|\le \epsilon \text{ for every }t\in [0,T])}{P(|X_t|\le \epsilon \text{ for every }t\in [0,T])}=\exp (-\underset{0}{\overset{T}{\int }}\frac{1}{2}|\dot{\phi }(t){|}^{2}dt).$

Processi di diffusione con coefficiente di diffusione costante su spazio euclideo

La funzione di Onsager-Machlup nel caso unidimensionale con coefficiente di diffusione costante σ è data da:

$L(x,v)=\frac{1}{2}{\left|\frac{v-b(x)}{\sigma }\right|}^2+\frac{1}{2}\frac{db}{dx}(x).$

Nel caso con d-dimensioni, con σ uguale alla matrice unitaria, la funzione è data da $L(x,v)=\frac{1}{2}\Vert v-b(x){\Vert }^2+\frac{1}{2}(\mathrm{div}b)(x)$, dove || ⋅ || è la norma euclidea e $(\mathrm{div}b)(x)=\sum _{i=1}^d\frac{\partial }{\partial x_i}{b}_i(x).$

Generalizzazioni

Le generalizzazioni sono state ottenute indebolendo la condizione di differenziabilità sulla curva φ. Invece di prendere la distanza massima tra il processo stocastico e la curva in un intervallo di tempo, sono state considerate altre condizioni come distanze basate su norme completamente convessee norme di tipo Hölder, Besov e Sobolev.

Applicazioni

La funzione Onsager-Machlup può essere utilizzata per scopi di riponderazione e campionamento delle traiettorie, nonché per determinare la traiettoria più probabile di un processo di diffusione.

• Lagrangiana
• Integrazione funzionale

 

Collegamenti esterni

• Funzione di Onsager-Machlup. Enciclopedia della matematica. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Onsager-Machlup_function&oldid=22857