Lemma di Itō

In matematica, il lemma di Itō ("Formula di Itō") è usato nel calcolo stocastico al fine di computare il differenziale di una funzione di un particolare tipo di processo stocastico. Trova ampio impiego nella matematica finanziaria.

Il lemma è un'estensione dello sviluppo in serie di Taylor che si usa per funzioni deterministiche, ossia senza termine casuale, ed è applicabile per una funzione stocastica, ossia con un termine in dW. Tale termine non è un differenziale esatto e rappresenta la componente casuale di una variabile aleatoria. dW è l'abbreviazione che indica un processo di Wiener, usato per rappresentare il moto delle particelle nella teoria cinetica dei gas. In frazioni piccole a piacere della variabile temporale, una grandezza di questo tipo manifesta comunque un'elevata variabilità.

Dal lemma di Itō si ricava l'integrale di Itō, che estende e generalizza l'integrale di Riemann per funzioni stocastiche. Diversamente dall'integrale di Riemann, non ha un significato geometrico, non è un'area.

Enunciato del lemma

Sia $x(t)$ un processo di Itō (o processo di Wiener generalizzato); in altre parole, $x(t)$ soddisfa l'equazione differenziale stocastica:

$dx(t)=a(x,t)dt+b(x,t)d{W}_t$

Sia inoltre una funzione $f$, avente derivata seconda continua. Allora:

• $f(x(t),t)$ è ancora un processo di Itō;

• Si ha:

$df(x(t),t)=(a(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}(b(x,t){)}^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2})dt+b(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}d{W}_t$

Giustificazione informale del risultato

Tramite un'espansione in serie di Taylor di $f(x(t),t)$ si ottiene:

$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}d{x}^2+\cdots$

Sostituendo $dx$ dalla SDE sopra si ha:

$df=\frac{\partial f}{\partial x}(adt+bd{W}_t)+\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(a^{2}d{t}^2+2abdtd{W}_t+b^{2}d{W}_t^2)+\cdots$

Lo sviluppo in serie di Taylor viene di solito troncato al primo ordine; già questo consente una buona approssimazione della funzione di partenza. In questo caso, bisogna considerare che i termini in $d{W}^2$ vanno come quelli in $d{t}^1$; avendo lo stesso ordine di grandezza, troncando al primo ordine devono essere considerati anche i termini in $d{W}^2$. Passando al limite per $dt$ tendente a 0, i termini $dtd{W}_t,d{t}^2$ scompaiono. Infatti, nei limiti infinitesimi (a zero) prevale la potenza con esponente più basso, che arriva a zero più lentamente degli altri termini. Per contro $(d{W}_t{)}^2$ tende a $dt$; quest'ultima proprietà può essere dimostrata provando che:

$d{W}^2=\text{E}\left(d{W}^2\right)$ se $\text{E}\left(d{W}^2\right)=dt$

Sostituendo questi risultati nell'espressione per $df$ si ottiene:

$df=(a\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}{b}^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2})dt+b\frac{\partial f}{\partial x}d{W}_t$

come richiesto. Una dimostrazione formale di questo risultato richiede la definizione di un integrale stocastico.

Bibliografia

• Template:EnKiyoshi Itō (1944). Stochastic Integral. Proc. Imperial Acad. Tokyo 20, 519-524. This is the paper with the Ito Formula; Online Template:Webarchive
• Template:EnKiyoshi Itō (1951). On stochastic differential equations. Memoirs, American Mathematical Society 4, 1–51. Online
• Template:EnHagen Kleinert (2004). Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore); Paperback ISBN 981-238-107-4. Also available online: PDF-files. This textbook also derives generalizations of Itō's lemma for non-Wiener (non-Gaussian) processes.
• Template:EnBernt Øksendal (2000). Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications, 5th edition, corrected 2nd printing. Springer. ISBN 3-540-63720-6. Sections 4.1 and 4.2.
• Template:EnDomingo Tavella (2002). Quantitative Methods in Derivatives Pricing: An Introduction to Computational Finance, John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-27479-7. Pages 36–39.

Voci correlate

• Differenziale (matematica)
• Integrale di Itō
• Processo di Wiener