Misura regolare

In matematica, una misura regolare su uno spazio topologico è una misura tale per cui ogni insieme misurabile può essere approssimato con un insieme misurabile aperto e con un insieme misurabile compatto.

Definizione

Sia $(X,T)$ uno spazio topologico e $\mathrm{\Sigma }$ una sigma-algebra su $X$. Detta $\mu$ una misura su $(X,\mathrm{\Sigma })$, un insieme misurabile $A\subset X$ è internamente regolare se:

$\mu (A)=\sup \{\mu (F)|F\subseteq A\}$

con $F$ compatto e misurabile, ed è esternamente regolare se:

$\mu (A)=\inf \{\mu (G)|G\supseteq A\}$

con $G$ aperto e misurabile.

• Una misura è detta misura internamente regolare se ogni insieme misurabile è internamente regolare. Alcuni autori definiscono una misura internamente regolare se ogni insieme aperto misurabile è internamente regolare.
• Una misura è detta misura esternamente regolare se ogni insieme misurabile è esternamente regolare.

Una misura è una misura regolare se è esternamente regolare e internamente regolare.

Esempi

• La misura di Lebesgue sulla retta reale è regolare.
• Ogni misura di probabilità di Borel su qualsiasi spazio di Hausdorff localmente compatto con una base di insiemi numerabile per la sua topologia, o su uno spazio metrico compatto, o su uno spazio di Radon, è regolare.

Bibliografia

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Voci correlate

• Insieme aperto
• Misura (matematica)
• Misura di Radon
• Spazio compatto