Sommazione per parti

In matematica, la sommazione per parti, anche chiamata trasformazione (o lemma) di Abel, è un procedimento che permette di scrivere in un altro modo la somma (finita o infinita) del prodotto di due successioni, consentendo così di avere una stima sul comportamento della serie in termini di convergenza.

Enunciato del lemma

Siano $\{a_n\}$ e $\{b_n\}$ due successioni, e sia

$A_n=\sum _{i=0}^n{a}_i$

la somma parziale $n$-esima di $\{a_n\}$, e si ponga $A_{-1}=0$. Vale allora l'eguaglianza:

$\sum _{i=m}^n{a}_i{b}_i=A_n{b}_n-A_{m-1}{b}_m+\sum _{i=m}^{n-1}{A}_i(b_i-b_{i+1})$.

Una formulazione equivalente può essere espressa con l'operatore differenza in avanti $\mathrm{\Delta }{b}_n:=b_{n+1}-b_n$:

$\sum _{i=m}^n{b}_i\mathrm{\Delta }{A}_{i-1}=A_n{b}_n-A_{m-1}{b}_m-\sum _{i=m}^{n-1}{A}_i\mathrm{\Delta }{b}_i$,

che evidenzia l'analogia tra questa formula e quella di integrazione per parti:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d(g(x))=g(b)f(b)-g(a)f(a)-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)d(f(x))$.

Dimostrazione

La dimostrazione fa uso soltanto di operazioni algebriche, il che rende la formula valida in qualunque campo. Il lemma continua a valere anche quando una successione abbia elementi in uno spazio vettoriale sul campo $𝒦$, e l'altra in $𝒦$.

Per la definizione di $\{A_n\}$, si ha:

$\sum _{i=m}^n{a}_i{b}_i=\sum _{i=m}^n(A_i-A_{i-1})b_i=\sum _{i=m}^n{A}_i{b}_i-\sum _{i=m-1}^{n-1}{A}_i{b}_{i+1}=$

$=(A_n{b}_n+\sum _{i=m}^{n-1}{A}_i{b}_i)-(\sum _{i=m}^{n-1}{A}_i{b}_{i+1}+A_{m-1}{b}_m)=A_n{b}_n-A_{m-1}{b}_m+\sum _{i=m}^{n-1}{A}_i(b_i-b_{i+1})$,

cioè la tesi, Q.E.D.

Teoremi derivati

Criterio di Dirichlet per le serie

Template:Vedi anche Il lemma di Abel viene usato per provare il criterio di Dirichlet per la convergenza di serie.

Criterio di Leibniz per le serie

Template:Vedi anche Il criterio di Leibniz può essere dimostrato in modo elementare come corollario del criterio di Dirichlet.

Bibliografia

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Voci correlate

• Integrazione per parti
• Serie convergente