Operatore di evoluzione temporale

L'operatore di evoluzione temporale in meccanica quantistica è un operatore che agisce su uno stato del sistema e opera l'evoluzione di questo stato negli istanti successivi. Dobbiamo chiarire che in meccanica quantistica (non relativistica) non esiste un operatore tempo, cioè il tempo non è una osservabile ma un parametro.

Definizione

Consideriamo una particella quantistica o un sistema fisico descritto all'istante $t_0$ da un vettore di stato $|\overrightarrow{\alpha },t_0⟩$ e consideriamo il vettore di stato al tempo $t$ identificato con $|\alpha ,t⟩$. L'evoluzione è operata dall'operatore di evoluzione temporale:

(1)$|\alpha ,t⟩=U(t,t_0)|\alpha ,t_0⟩$

perché $|\alpha ,t⟩$ deve potersi determinare da $|\alpha ,t_0⟩$.

Vediamo le proprietà di questo operatore. Per la conservazione della probabilità, lo stato al tempo $|\alpha ,t⟩$ deve essere normalizzato a $1$, quindi:

$⟨\alpha ,t|\alpha ,t⟩=⟨\alpha ,t_0|U^{†}(t,t_0)U(t,t_0)|\alpha ,t_0⟩=⟨\alpha ,t_0|\alpha ,t_0⟩=1$

e questo implica che

(2)$U^{†}(t,t_0)U(t,t_0)=\mathrm{𝟏}$

cioè l'operatore di evoluzione temporale deve essere unitario. Inoltre per $t\to t_0$ il nostro operatore deve eseguire una trasformazione identitaria, cioè deve ridursi all'operatore identità, cioè:

$\underset{t\to t_0}{\lim }U(t,t_0)=\mathrm{𝟏}$

Infine l'applicazione successiva dell'operatore due volte, cioè eseguire due evoluzioni temporali consecutive, deve portare ad una evoluzione somma:

$U(t_2,t_1)U(t_1,t_0)=U(t_2,t_0)$

Queste proprietà portano alla definizione dell'operatore di evoluzione temporale infinitesimale:

(3)$U(t_0+dt,t_0)=\mathrm{𝟏}-i\mathrm{\Omega }\cdot dt$

dove $\mathrm{𝟏}$ è l'operatore identità e $\mathrm{\Omega }$ è il generatore dell'evoluzione temporale e deve essere un operatore hermitiano, infatti:

$U^{†}U=(\mathrm{𝟏}+i{\mathrm{\Omega }}^{†}\cdot dt)(\mathrm{𝟏}-i\mathrm{\Omega }\cdot dt)=\mathrm{𝟏}+i({\mathrm{\Omega }}^{†}-\mathrm{\Omega })dt+O((dt{)}^2)\simeq \mathrm{𝟏}$

ossia:

$\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}^{†}$

e questo prova anche che l'operatore $U(t,t_0)$ è un operatore unitario.

Per vedere quale sia il generatore dell'evoluzione temporale infinitesimo possiamo utilizzare l'analogia con la meccanica classica: eseguiamo cioè una trasformazione canonica temporale infinitesima delle coordinate generalizzate e degli impulsi:

$Q_i=q_i+{\dot{q}}_{i}dt,P_i=p_i+{\dot{p}}_{i}dt$

La funzione che genera tale trasformazione canonica è:

(4)$\mathrm{\Phi }=\sum _i{q}_i\cdot P_i+Hdt$

dove $\sum _i{q}_i\cdot P_i$ genera una trasformazione identica. Dal confronto della (3) con la (4) possiamo supporre che $\mathrm{\Omega }$ coincida a meno di un fattore costante con l'hamiltoniana del sistema. Il fattore costante in questione è la costante di Planck razionalizzata poiché essa permette all'operatore temporale di essere adimensionale, quindi in definitiva la (3) dice che l'operatore di evoluzione temporale infinitesima è:

(5)$U(t_0+dt,t_0)=\mathrm{𝟏}-\frac{iHdt}{\hslash }$

Se ci si limita a considerare forze indipendenti dal tempo, l'operatore $U$ dipende unicamente dall'intervallo $t-t_0$ e non dall'istante iniziale $t_0$, che si può porre uguale a $0$. In questo caso, vedremo che l'operatore di evoluzione temporale si può scrivere in forma compatta come:

(6)$U(t)\equiv U(t,0)=e^{-iHt/\hslash }.$

Questo risultato si può dimostrare rigorosamente in virtù del teorema di Stone.

Equazione di Schrödinger dipendente dal tempo

Template:Vedi anche L'operatore di evoluzione temporale infinitesimo è alla base dell'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo, infatti se:

$U(t+dt,t_0)-U(t,t_0)=U(t+dt,t)U(t,t_0)-U(t,t_0)=(\mathrm{𝟏}-\frac{iHdt}{\hslash })U(t,t_0)-U(t,t_0)=-\frac{i}{\hslash }HdtU(t,t_0)$

dividendo per $dt$ e nel limite $dt\to 0$:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}U(t,t_0)=HU(t,t_0)$

Applicato ad un generico vettore di stato $|\alpha ,t_0⟩$:

$i\hslash (\frac{\partial }{\partial t}U(t,t_0))|\alpha ,t_0⟩=HU(t,t_0)|\alpha ,t_0⟩\to i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\alpha ,t⟩=H|\alpha ,t⟩$

dove H può dipendere esplicitamente dal tempo.

Stati stazionari

L'hamiltoniano di un sistema isolato o di un sistema che si trova in un campo esterno uniforme non contiene esplicitamente il tempo. È lecito quindi porre $t_0=0$ e scrivere $U(t)=U(t,0)$ senza perdere in generalità. Dall'equazione di Schrödinger si ricava

$U(t)=e^{-iHt/\hslash }$

e per i vettori di stato:

$|\alpha ,t⟩=e^{-iHt/\hslash }|\alpha ,0⟩$.

Si definiscono stati stazionari quelli che non evolvono nel tempo, vale a dire $|\alpha ,t⟩$ e $|\alpha ,0⟩$ rappresentano lo stesso stato. Questo è vero se sono proporzionali, cioè

$|\alpha ,t⟩=c(t)|\alpha ,0⟩$.

Si dimostra che

uno stato è stazionario se e solo se è autostato di $H$.

Ad esempio, se $H|\alpha ,0⟩=E|\alpha ,0⟩$ si ha che:

$U(t)|\alpha ,0⟩=e^{-iHt/\hslash }|\alpha ,0⟩=e^{-iEt/\hslash }|\alpha ,0⟩$.

Si vede così che la costante di proporzionalità $c(t)$ è $e^{-iEt/\hslash }$.

Se lo stato di partenza non è un autostato di $H$, ma questa ha un insieme completo di autovettori $|n⟩$, è possibile effettuare uno sviluppo in serie:

$|\alpha ,0⟩=\sum _n|n⟩⟨n|\alpha ,0⟩=\sum _n{c}_n(0)|n⟩$

al tempo $t$ l'evoluzione del vettore di stato è:

$|\alpha ,t⟩=U(t,0)|\alpha ,0⟩=\sum _n{c}_n(0)e^{-iHt/\hslash }|n⟩=\sum _n{c}_n(0)e^{-i{E}_{n}t/\hslash }|n⟩$

cioè il coefficiente generico dello sviluppo varia nel tempo come:

$c_n(0)\Rightarrow c_n(t)=e^{-i{E}_{n}t/\hslash }{c}_n(0)$

I moduli quadri $|c_n(t){|}^2$ dei coefficienti dello sviluppo del vettore di stato al tempo $t$, sono come sempre le probabilità di transizione dei diversi valori di energia del sistema, e la precedente mostra che tali probabilità restano costanti nel tempo.

Se $H$ ha autovalori continui lo sviluppo in serie non è possibile e si avrà:

$|\alpha ,t⟩=\int c(E)e^{-iEt/\hslash }|E⟩dE$.

Nel caso in cui $H$ abbia solo autovalori continui (ad esempio nel caso di particella libera), non esistono autostati propri e quindi nemmeno stati stazionari.

Osservabili e costanti del moto

A partire dall'operatore U è possibile determinare come varia nel tempo il valor medio di qualunque osservabile $A$:

$⟨A{⟩}_t=⟨\alpha ,t|A|\alpha ,t⟩$

ed è chiaro che il valor medio di $A$ è costante nel tempo su ogni stato stazionario. In particolare, per la posizione $⟨x⟩=cost.$ e per l'impulso si ha:

$⟨p⟩=m\frac{d}{dx}⟨x⟩=0$.

Possono esistere osservabili il cui valor medio si mantiene costante su qualsiasi stato: queste si dicono costanti del moto. Si dimostra che

tutte e sole le costanti del moto sono le osservabili che commutano con $H$, ovvero $[A,H]=0$.

Analogo risultato vale in meccanica classica: le costanti del moto sono le funzioni che annullano la parentesi di Poisson con $H$.

Evoluzione temporale in rappresentazione di Heisenberg

Per determinare il valor medio di $A$ abbiamo scritto $⟨A{⟩}_t=⟨\alpha ,t|A|\alpha ,t⟩$ e introducendo l'operatore $U$ si ha:

$⟨A{⟩}_t=⟨\alpha ,0|U(t{)}^{†}AU(t)|\alpha ,0⟩$

e posto $A(t)\equiv U(t{)}^{†}AU(t)$, si ha:

$⟨A{⟩}_t=⟨\alpha ,0|A(t)|\alpha ,0⟩$.

Questa scrittura significa che si stanno tenendo fissi i vettori che descrivono lo stato del sistema, mentre sono le osservabili a dipendere dal tempo. Questo schema è formalmente identico alla meccanica classica: se $U(t)=e^{-iHt/\hslash }$, si trova l'equazione di Heisenberg

$\dot{A}(t)=\frac{i}{\hslash }[H,A(t)]$

che corrisponde alle equazioni del moto classiche in forma di parentesi di Poisson.

Per una hamiltoniana nella forma $H=\frac{p^2}{2m}+V(q)$ si trovano due equazioni per $q$ e $p$ formalmente uguali alle equazioni di Hamilton:

$\dot{q}(t)=\frac{p(t)}{m}$

$\dot{p}(t)=-\frac{\partial }{\partial q}V[q(t)]$

Bibliografia

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Voci correlate

• Osservabile
• Operatore posizione
• Operatore impulso
• Operatore hamiltoniano
• Operatore di inversione temporale
• Operatore di traslazione spaziale