Operatore di inversione temporale

L'operatore di inversione temporale è un operatore utilizzato in meccanica quantistica; modifica lo stato a cui viene applicato dando luogo a un nuovo stato "temporalmente invertito".

Introduzione

L'azione dell'operatore di inversione temporale su un sistema fisico è più propriamente descritta come inversione del moto, anziché come inversione del tempo. Si consideri il moto di una particella soggetta ad un certo potenziale; immaginando, in un certo istante di tempo $t$ di bloccare la particella e sostituire la sua quantità di moto $𝐩$ con $\mathbf{-}𝐩$, la particella torna indietro ripercorrendo (nel verso opposto) la stessa traiettoria. In altre parole, se la curva $𝐱(t)$ è soluzione dell'equazione del moto (non dissipativa):

$m\ddot{𝐱}=-\mathrm{\nabla }V(𝐱)$

allora anche $𝐱(-t)$ soddisfa l'equazione del moto. $𝐱(-t)$ rappresenta la soluzione temporalmente invertita.

L'operatore di inversione temporale

Dato uno stato $|\alpha ⟩$, lo stato temporalmente invertito si ottiene applicando ad $|\alpha ⟩$ l'operatore di inversione temporale, indicato con $\mathrm{\Theta }$:

$|\alpha ⟩\to \mathrm{\Theta }|\alpha ⟩$

Proprietà

Una proprietà fondamentale dell'operatore di inversione temporale è l'antiunitarietà.

Un operatore antiunitario applicato ad uno stato realizza una trasformazione

$|\tilde{\alpha }⟩=\theta |\alpha ⟩$

$|\tilde{\beta }⟩=\theta |\beta ⟩$

che soddisfa le seguenti due proprietà

$⟨\tilde{\beta }|\tilde{\alpha }⟩=⟨\beta |\alpha {⟩}^{*}$

$\theta [a|\alpha ⟩+b|\beta ⟩]=a^{*}\theta |\alpha ⟩+b^{*}\theta |\beta ⟩$

(la seconda relazione definisce un operatore antilineare)

Un generico operatore antiunitario può essere scritto come prodotto di due operatori

$\theta =U\cdot K$

dove $U$ è un operatore unitario e $K$ coniuga il numero a cui è moltiplicato.

L'azione dell'operatore $K$ su uno stato non modifica i ket di base. Infatti uno stato $|\alpha ⟩$, scritto come combinazione lineare di autostati $|{\varphi }^{\prime }⟩$

$|\alpha ⟩=\sum _{{\varphi }^{\prime }}|{\varphi }^{\prime }⟩⟨{\varphi }^{\prime }|\alpha ⟩$

si trasforma, sotto l'azione di $K$ nel modo seguente:

$K|\alpha ⟩=\sum _{{\varphi }^{\prime }}⟨{\varphi }^{\prime }|\alpha {⟩}^{*}K|{\varphi }^{\prime }⟩=\sum _{{\varphi }^{\prime }}⟨{\varphi }^{\prime }|\alpha {⟩}^{*}|{\varphi }^{\prime }⟩$.

Sistemi simmetrici sotto inversione temporale

Indicando con $|\psi ⟩$ uno stato al tempo $t=0$, lo stato $|\psi ,t⟩$ corrispondente ad un istante immediatamente successivo $t=\delta t$ si ottiene applicando l'operatore di evoluzione temporale (in forma infinitesima):

$|\psi ,t⟩=(1-\frac{iH}{\hslash }\delta t)|\psi ⟩$.

Facendo evolvere allo stesso modo lo stato prima invertito temporalmente si ottiene:

$(1-\frac{iH}{\hslash }\delta t)\mathrm{\Theta }|\psi ⟩$.

Per sistemi simmetrici sotto inversione temporale questo stato deve coincidere con quello che si ottiene facendo prima "evolvere all'indietro" $|\psi ⟩$ e poi applicando l'operatore di inversione temporale:

$(1-\frac{iH}{\hslash }\delta t)\mathrm{\Theta }|\psi ⟩=\mathrm{\Theta }(1-\frac{iH}{\hslash }(-\delta t))|\psi ⟩$,

da cui si ricava:

$-iH\mathrm{\Theta }|\psi ⟩=\mathrm{\Theta }iH|\psi ⟩$.

Siccome il ragionamento è valido per ogni ket $|\psi ⟩$, si può scrivere

$-iH\mathrm{\Theta }=\mathrm{\Theta }iH$.

L'antiunitarietà di $\mathrm{\Theta }$ porta alla seguente relazione:

$\mathrm{\Theta }H=H\mathrm{\Theta }$.

In altre parole l'hamiltoniana di un sistema simmetrico sotto inversione temporale commuta con l'operatore $\mathrm{\Theta }$:

$[H,\mathrm{\Theta }]=0$

Bibliografia

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