Normalizzazione (matematica)

In matematica, per normalizzazione si intende il procedimento di dividere tutti i termini di un'espressione per uno stesso fattore in modo che l'espressione risultante abbia una certa norma uguale a 1.

Normalizzazione in uno spazio vettoriale

In uno spazio vettoriale dotato di prodotto interno e di norma si chiama normalizzazione il procedimento che dato un vettore lo porta ad avere norma unitaria.

Una situazione comune in cui si utilizza questo procedimento è nella costruzione di una base ortonormale (o sistema ortonormale, s.o.n.) dello spazio vettoriale. Supponiamo di essere in uno spazio vettoriale di dimensione $n$ e di conoscere già una base completa di vettori che siano tra loro ortogonali; siamo cioè nel caso in cui gli $n$ vettori componenti dell'insieme

$B_O=\{b_1,b_2,\dots ,b_n\}$

costituiscono una base ortogonale.

Per ottenere una base ortonormale, basta prendere singolarmente ciascuno di questi $n$ vettori e dividerli ciascuno per il valore della propria norma (si noti che si tratta di una divisione per uno scalare, perché la norma di un vettore è uno scalare).

$u_i=\frac{b_i}{\Vert b_i\Vert }i=1,2,\dots n,$

ognuno dei vettori $u_i$ così ottenuti avrà norma unitaria (sarà quindi anche un versore). Inoltre, questi vettori saranno tra loro ortogonali. Pertanto l'insieme

$B_u=\{u_1,u_2,\dots ,u_n\}$

costituisce una base ortonormale dello spazio vettoriale normato.

Probabilità

Lo spazio vettoriale delle funzioni integrabili di variabile reale è dotato di una seminorma; procedendo come sopra, è possibile normalizzare qualunque tra queste funzioni abbia seminorma non nulla.

In particolare, una funzione $f$ di variabile reale, integrabile, sempre positiva (o sempre negativa), con integrale non nullo,

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=a>0$

può essere riscalata per $a,$ dando origine a una funzione di densità di probabilità:

$g(x)=\frac{1}{a}f(x)\ge 0$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)dx=\frac{1}{a}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=1.$

Questo è un caso particolare di una misura di probabilità ottenuta normalizzando la misura di uno spazio misurabile, con la condizione che lo spazio stesso abbia misura finita e non nulla.

Un esempio nel calcolo delle probabilità è la probabilità condizionata da un evento B, di probabilità non nulla (è certamente finita): questa è ottenuta restringendo lo spazio degli eventi a B e normalizzando la misura.

Applicazioni

Trigonometria

In trigonometria la normalizzazione è un metodo per la risoluzione delle equazioni lineari in seno e coseno, chiamato anche metodo dell'angolo aggiunto. Per risolvere un'equazione del tipo:

$a\sin x+b\cos x+c=0.$

Si dividono entrambi i membri per $\sqrt{a^2+b^2}.$

Questa quantità è diversa da zero, a meno che sia $a$ che $b$ siano nulli, nel qual caso l'equazione di partenza degenera nel caso banale $c=0.$

Si ottiene:

$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}=0.$

Notiamo ora che i due coefficienti $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ e $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ sono entrambi, in modulo, minori di 1, e inoltre la somma dei loro quadrati è 1; pertanto essi possono essere considerati come seno e coseno di uno stesso angolo $\phi$. Si ha quindi:

$\cos \phi =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$\sin \phi =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

Ora l'equazione iniziale diventa:

$\cos \phi \sin x+\sin \phi \cos x+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}=0,$

da cui si ottiene

$\sin (x+\phi )=-\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

Da questa equazione si può ora facilmente determinare il valore dell'angolo $x+\phi$, e poiché il valore dell'angolo $\phi$ è noto, si può facilmente ricavare anche l'angolo incognito $x.$

Voci correlate

• Versore
• Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt