Regola della catena

Template:F In analisi matematica, la regola della catena è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione composta di due funzioni derivabili.

Definizione

La derivata della funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione esterna, avente come argomento la funzione interna, per la derivata della funzione interna:

$\mathrm{D}[f(g(x))]=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x).$

Le notazioni $\mathrm{D}[f(x)]$ e $f^{\prime }(x)$ indicano il medesimo significato di derivata.

La formula è valida anche per funzioni di più variabili reali e per funzioni vettoriali. Il teorema di derivazione delle funzioni composte afferma che se:

$𝐱(t)=(x_1(t),x_2(t),\dots ,x_n(t)),t\in ℝ$

è un vettore di ${ℝ}^n$ le cui componenti sono funzioni derivabili

${𝐱}^{\prime }(t)=(x{\text{'}}_1(t),x{\text{'}}_2(t),\dots ,x{\text{'}}_n(t))$

e se $f$ è una funzione differenziabile in $𝐱(t)$, allora la funzione composta

$F(t)=f(𝐱(t))$

è differenziabile nella variabile $t$ e si ha:

$F^{\prime }(t)=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f(𝐱(t))}{\partial x_i}x{\text{'}}_i(t)=⟨\mathrm{\nabla }F(t),{𝐱}^{\prime }(t)⟩=⟨\mathrm{\nabla }f(𝐱(t)),{𝐱}^{\prime }(t)⟩$

dove $\mathrm{\nabla }f$ è il gradiente di $f$ e $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ è il prodotto scalare euclideo.

Ad esempio, se $f$ è una funzione di due variabili composta dopo la funzione vettoriale $(g,h)$, cioè $f(g(t),h(t))$, allora:

$\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial g}\frac{dg}{dt}+\frac{\partial f}{\partial h}\frac{dh}{dt}.$

Inoltre, se $𝐟$ e $𝐠$ sono due funzioni vettoriali differenziabili componibili, allora:

$J[(𝐟\circ 𝐠)(x)]=J[𝐟(𝐠(x))]\cdot J[𝐠(x)],$

dove $\cdot$ è la moltiplicazione di matrici e $J[𝐟(x)]$ è la matrice jacobiana di $𝐟$.

Dimostrazione

Sia, per non appesantire la notazione, $\mathrm{\Delta }g:=g(x+h)-g(x)$, da cui $g(x+h)=g(x)+\mathrm{\Delta }g$. Definiamo ora

$\omega (\mathrm{\Delta }g)=\{\begin{array}{cc}\frac{f(g(x)+\mathrm{\Delta }g)-f(g(x))}{\mathrm{\Delta }g}-f^{\prime }(g(x)),& \text{se }\mathrm{\Delta }g\ne 0,\\ 0,& \text{se }\mathrm{\Delta }g=0.\end{array}$

È dunque

$f(g(x)+\mathrm{\Delta }g)-f(g(x))=f^{\prime }(g(x))\cdot \mathrm{\Delta }g+\omega (\mathrm{\Delta }g)\cdot \mathrm{\Delta }g.$

Inoltre, per l'ipotesi di derivabilità di $f$, è

$\underset{\mathrm{\Delta }g\to 0}{\lim }\omega (\mathrm{\Delta }g)=0.$

Esaminiamo ora il rapporto incrementale di $f(g(x))$:

$\mathrm{D}[f(g(x))]=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(g(x)+\mathrm{\Delta }g)-f(g(x))}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(g(x))\cdot \mathrm{\Delta }g+\omega (\mathrm{\Delta }g)\cdot \mathrm{\Delta }g}{h}.$

Spezzando la frazione, abbiamo

$\underset{h\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(g(x))\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}+\underset{h\to 0}{\lim }\omega (\mathrm{\Delta }g)\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}.$

E quindi passando al limite

$\mathrm{D}[f(g(x))]=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)+0\cdot g^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x).$

Dimostrazione alternativa

Siano $f:A\to ℝ$ e $g:B\to A$ derivabili in ogni punto, dove $A,B\subseteq ℝ$.

Dalla definizione di derivata si ha

$\mathrm{D}[(f\circ g)(x)]=\underset{t\to x}{\lim }\frac{f(g(t))-f(g(x))}{t-x}.$

L'idea di fondo è dividere il numeratore del rapporto incrementale per $g(t)-g(x)$ in modo da ottenere il rapporto incrementale di $f$ calcolato nel punto $g(x)$, e quindi poter esprimere la derivata della funzione composta in funzione della derivata di $f$ calcolata in $g(x)$. Moltiplichiamo e dividiamo (che equivale a moltiplicare per $1$, preservando l'uguaglianza), il secondo membro per $g(t)-g(x)$:

$\mathrm{D}[(f\circ g)(x)]=\underset{t\to x}{\lim }\frac{f(g(t))-f(g(x))}{t-x}\frac{g(t)-g(x)}{g(t)-g(x)}.$

Per le proprietà associativa e commutativa del prodotto otteniamo:

$\mathrm{D}[(f\circ g)(x)]=\underset{t\to x}{\lim }\frac{f(g(t))-f(g(x))}{g(t)-g(x)}\frac{g(t)-g(x)}{t-x}.$

Poiché per ipotesi $f$ e $g$ sono derivabili, esistono i limiti dei rapporti incrementali, rispettivamente $\underset{a\to b}{\lim }\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=\mathrm{D}[f(b)]$ e $\underset{\alpha \to \beta }{\lim }\frac{g(\alpha )-g(\beta )}{\alpha -\beta }=\mathrm{D}[g(\beta )]$, in qualsiasi punto del dominio; ma per questo, dopo aver applicato nel primo limite del rapporto incrementale la sostituzione $g(t):=\theta$, il limite del prodotto di quei rapporti incrementali è uguale al prodotto dei loro limiti presi separati:

$\mathrm{D}[(f\circ g)(x)]=\underset{\theta \to g(x)}{\lim }\frac{f(\theta )-f(g(x))}{\theta -g(x)}\underset{t\to x}{\lim }\frac{g(t)-g(x)}{t-x}=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

Dimostrazione con "o" piccolo

Si considerino due funzioni $f,g:[a,b]\to ℝ$ e la funzione composta $H(x)=g(f(x)),$ allora è possibile scrivere i rapporti incrementali delle funzioni in questo modo:

• $f(x+h)-f(x)=f^{\prime }(x)h+o_1(h);$
• $g(y+k)-g(y)=g^{\prime }(y)k-o_2(k);$
• $H(x+h)-H(x)=\alpha (x)h-o_3(h).$

A questo punto si passa alla riscrittura di $H(x+h)-H(x)$ tenendo conto che $H(x)=g(f(x))$ quindi si ha:

$H(x+h)-H(x)=g(f(x+h))-g(f(x)).$

Si ricordi che $f(x+h)=f(x)+f^{\prime }(x)h+o_1(h),$ quindi si ha:

$H(x+h)-H(x)=g(f(x)+f^{\prime }(x)h+o_1(h))-g(f(x)).$

Si effettua la sostituzione $f(x)=y$ e $k=f^{\prime }(x)h+o_1(h)$ e si scrive:

$H(x+h)-H(x)=g(y+k)-g(y)=g^{\prime }(y)k-o_2(k)=g^{\prime }(f(x))\cdot (f^{\prime }(x)h+o_1(h))-o_2(k)=g^{\prime }(f(x))f^{\prime }(x)h+g^{\prime }(f(x))o_1(h)-o_2(k).$

Si pone $\alpha (x)=g^{\prime }(f(x))f^{\prime }(x)$ e inoltre $o_3(h)=g^{\prime }(f(x))o_1(h)-o_2(k),$ così il teorema è dimostrato.

Osservazioni

• Nella notazione di Leibniz, questo si riconduce all'identità

$\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx},$

poiché $\frac{df(g)}{dx}=\frac{df(g)}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}$, che è utile per fissare mnemonicamente il risultato (come se il $dg$ si "semplificasse" nelle due frazioni), anche se ovviamente non costituisce una dimostrazione.

• Applicando la formula iterativamente si può calcolare la derivata di una composizione di tre o più funzioni. Ad esempio:

$\mathrm{D}[(f\circ g\circ h)(x)]=f^{\prime }(g(h(x)))\cdot g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x),$

e così via.

Esempio

Sia $f(x)=\log x-3$, $g(x)=x^2+3x$, $h(x)=\frac{x}{2}$. Allora:

$(f\circ g\circ h)(x)=\log [{\left(\frac{x}{2}\right)}^2+3\frac{x}{2}]-3$

e

$\mathrm{D}[(f\circ g\circ h)(x)]=\frac{1}{(\frac{x}{2}{)}^2+3\frac{x}{2}}\cdot (2\frac{x}{2}+3)\cdot \frac{1}{2}.$

Derivate successive

L'estensione della formula al calcolo delle derivate successive si deve a Faà di Bruno. In particolare, se $f,g$ possiedono tutte le derivate necessarie, allora risulta:

$\frac{d^{2}f}{d{x}^2}=\frac{d^{2}f}{d{g}^2}{\left(\frac{dg}{dx}\right)}^2+\frac{df}{dg}\frac{d^{2}g}{d{x}^2};$

$\frac{d^{3}f}{d{x}^3}=\frac{d^{3}f}{d{g}^3}{\left(\frac{dg}{dx}\right)}^3+3\frac{d^{2}f}{d{g}^2}\frac{dg}{dx}\frac{d^{2}g}{d{x}^2}+\frac{df}{dg}\frac{d^{3}g}{d{x}^3}.$

Voci correlate

• Regole di derivazione

Collegamenti esterni

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