Variabili di Mandelstam

In questo schema due particelle entranti con impulso p₁ e p₂ interagiscono in qualche modo dando origine a due particelle uscenti con impulso (p₃ e p₄).

In fisica teorica le variabili di Mandelstam sono grandezze fisiche che rappresentano energia, impulso e angoli delle particelle in processi di scattering in un sistema Lorentz-invariante. Vengono usate nel caso di urti elastici tra due particelle.

Le variabili di Mandelstam $s, t, u$ sono definite come:

$s = (p_{1} + p_{2})^{2} = (p_{3} + p_{4})^{2}$
$t = (p_{1} - p_{3})^{2} = (p_{2} - p_{4})^{2}$
$u = (p_{1} - p_{4})^{2} = (p_{2} - p_{3})^{2}$

dove p₁ e p₂ sono i quadri-impulsi delle particelle incidenti mentre p₃ e p₄ sono i quadri-impulsi delle particelle uscenti.

s rappresenta il quadrato dell'energia nel sistema del centro di massa ( $E^{C M} = M_{i n v} c^{2}$ , dove $M_{i n v}$ indica la massa invariante del sistema ) e t il quadrato della quantità di impulso trasferito durante l'urto.

Diagrammi di Feynman

Le lettere $s, t, u$ possono essere anche usate per individuare processi in canale-s, canale-t e canale-u. Questi canali rappresentano differenti tipi di diagrammi di Feynman o differenti processi di scattering quando l'interazione comporta lo scambio di una particella intermedia che possiede un momento $\sqrt{s}, \sqrt{t}, \sqrt{u}$ ,


canale-s	canale-t	canale-u

Per esempio il canale-s corrisponde ad un processo in cui le particelle 1,2 interagiscono generando una particella intermedia, che infine decade nelle particelle 3 e 4: il canale-s è l'unico modo in cui si possono scoprire risonanze e nuove particelle instabili purché abbiano un tempo di vita sufficiente per essere rivelate.

Il canale-t rappresenta un processo in cui la particella 1 emette una particella intermedia e diventa la particella 3 dello stato finale, mentre la particelle 2 interagisce con la particella intermedia e diventa 4. Il canale-u è il canale-t nel quale si è scambiato il ruolo delle particelle 3 e 4.

Limite per alte energie

Nel limite ultrarelativistico la massa può essere trascurata, quindi, ad esempio:

s = (p_{1} + p_{2})^{2} = p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + 2 p_{1} \cdot p_{2} \approx 2 p_{1} \cdot p_{2}

dal momento che $p_{1}^{2} = m_{1}^{2}$ e $p_{2}^{2} = m_{2}^{2}$ (c =1).

In questo limite le variabili possono essere scritte come

\begin{matrix} s & \approx 2 p_{1} \cdot p_{2} & \approx 2 p_{3} \cdot p_{4} \\ t & \approx - 2 p_{1} \cdot p_{3} & \approx - 2 p_{2} \cdot p_{4} \\ u & \approx - 2 p_{1} \cdot p_{4} & \approx - 2 p_{3} \cdot p_{2} \end{matrix}

Addizione

Una proprietà di queste variabili è che la loro somma è pari alla somma dei quadrati delle masse delle particelle coinvolte (avendo posto c =1):

s + t + u = m_{1}^{2} + m_{2}^{2} + m_{3}^{2} + m_{4}^{2}

.

Per la dimostrazione sono necessarie due considerazioni:

il modulo quadro del quadri-impulso di una particella è il quadrato della sua massa,

p_{i}^{2} = m_{i}^{2} (1)

e la conservazione del quadri-impulso,

p_{1} = - p_{2} + p_{3} + p_{4} (2)

Si inizia scrivendo le tre variabili come:

s = (p_{1} + p_{2})^{2} = p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + 2 p_{1} \cdot p_{2}

t = (p_{1} - p_{3})^{2} = p_{1}^{2} + p_{3}^{2} - 2 p_{1} \cdot p_{3}

u = (p_{1} - p_{4})^{2} = p_{1}^{2} + p_{4}^{2} - 2 p_{1} \cdot p_{4}

usando la (1) si può scrivere:

s = m_{1}^{2} + m_{2}^{2} + 2 p_{1} \cdot p_{2}

t = m_{1}^{2} + m_{3}^{2} - 2 p_{1} \cdot p_{3}

u = m_{1}^{2} + m_{4}^{2} - 2 p_{1} \cdot p_{4}

ora, sommando le tre equazioni si trova:

\begin{matrix} s + t + u & = 3 m_{1}^{2} + m_{2}^{2} + m_{3}^{2} + m_{4}^{2} + 2 p_{1} \cdot p_{2} - 2 p_{1} \cdot p_{3} - 2 p_{1} \cdot p_{4} \\ = m_{1}^{2} + m_{2}^{2} + m_{3}^{2} + m_{4}^{2} + 2 (m_{1}^{2} + p_{1} \cdot p_{2} - p_{1} \cdot p_{3} - p_{1} \cdot p_{4}) \\ = m_{1}^{2} + m_{2}^{2} + m_{3}^{2} + m_{4}^{2} + 2 (m_{1}^{2} + p_{1} \cdot (p_{2} - p_{3} - p_{4})) \end{matrix}

quindi, in conclusione:

s + t + u = c^{2} (m_{1}^{2} + m_{2}^{2} + m_{3}^{2} + m_{4}^{2})

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