Trasformata inversa di Laplace

In matematica, la trasformata inversa di Laplace o antitrasformata di Laplace è l'inversa della trasformata di Laplace. Entrambe hanno importanti applicazioni nello studio/analisi dei sistemi dinamici lineari.

Definizione

Detta $ℒ$ la trasformata di Laplace, l'antitrasformata di Laplace di una funzione $F(s)$ è la funzione $f(t)$ tale che:

$ℒ\{f(t)\}=F(s)$

Si prova che se una funzione $F(s)$ ha trasformata inversa $f(t)$, ovvero $f$ è una funzione continua a tratti che soddisfa la condizione precedente, allora $f(t)$ è univocamente determinata.

Una formulazione integrale dell'antitrasformata di Laplace, chiamata anche integrale di Bromwich o formula inversa di Mellin, è data dall'integrale di linea:

${ℒ}^{-1}\{F(s)\}=f(t)=\frac{1}{2\pi i}\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\gamma -iT}{\overset{\gamma +iT}{\int }}{e}^{st}F(s)ds$

dove l'integrazione avviene lungo la linea verticale $\mathrm{\Re }(s)=\gamma$ nel piano complesso, con $\gamma$ maggiore della parte reale di tutte le singolarità di $F$. Questo assicura che la linea di contorno è nella regione di convergenza. Se tutte le singolarità di $F$ sono dalla parte sinistra del piano complesso o se $F$ non ha singolarità, allora $\gamma$ può essere preso nullo e la formula diventa uguale alla trasformata di Fourier inversa. Infatti, se $s=x+iy$, si ha

$\frac{1}{2\pi i}\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-iT}{\overset{iT}{\int }}{e}^{st}F(s)ds=\frac{1}{2\pi }\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-T}{\overset{T}{\int }}{e}^{iyt}F(iy)dy$

Bibliografia

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Voci correlate

• Teorema di inversione di Fourier
• Teorema di inversione di Mellin
• Trasformata di Laplace

Collegamenti esterni

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• Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
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