Termine spettroscopico

Template:NN In fisica il termine atomico, anche chiamato termine spettroscopico di Russell-Saunders, sintetizza il numero quantico azimutale di un sistema di particelle.

In fisica atomica, il termine atomico è usato per caratterizzare gli elettroni in un atomo, e determina un livello energetico della configurazione elettronica basandosi sull'accoppiamento di Russell-Saunders. Per il termine atomico dello stato fondamentale valgono le regole di Hund.

Notazione

Il termine spettroscopico ha la forma ^[1]

^{2 S + 1} L_{J}

dove

L

è il numero azimutale, in notazione spettroscopica.

S

è il numero quantico di spin,

2 S + 1

è la degenerazione di spin, cioè il massimo numero di possibili stati

J

per una data configurazione di

L

e

S

.

J

è il numero del momento angolare totale.

I primi $17$ simboli $L$ sono:

$L$ =	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	...
	$S$	$P$	$D$	$F$	$G$	$H$	$I$	$K$	$L$	$M$	$N$	$O$	$Q$	$R$	$T$	$U$	$V$	(continuano in ordine alfabetico)

Termini, livelli e stati

Il termine spettroscopico viene usato anche per sistemi composti come nuclei atomici o molecole. Nel caso degli elettroni in un atomo, per una data configurazione elettronica si ha:

Una combinazione dei possibili valori di $S$ e $L$ è chiamata termine, e il numero di combinazioni possibili è $(2 S + 1) (2 L + 1)$ (detti microstati).
Una combinazione dei possibili valori di $S$ , $L$ e $J$ è chiamata livello, e il numero di combinazioni possibili è $(2 J + 1)$ .
Una combinazione di $L, S, J$ e $M_{J}$ determina univocamente un singolo stato.

Il prodotto $(2 S + 1) (2 L + 1)$ è il numero degli autostati compositi $| S, M_{S}, L, M_{L} ⟩$ per ogni assegnato valore di S e L, ma è anche il numero degli stati di base nella rappresentazione non accoppiata, dove $S$ , $M_{S}$ , $L$ , $M_{L}$ ( $M_{S}$ e $M_{L}$ sono le componenti lungo l'asse $z$ dello spin totale e del momento angolare totale rispettivamente) sono Good quantum number, ai quali corrispondono operatori mutuamente commutanti. Assegnati $S$ e $L$ , gli autostati $| S, M_{S}, L, M_{L} ⟩$ in questa rappresentazione (detta disaccoppiata) generano uno spazio di funzioni di dimensione $(2 S + 1) (2 L + 1)$ , siccome $M_{S} = S, S - 1, \dots, - S + 1, - S$ e $M_{L} = L, L - 1, . . ., - L + 1, - L$ . Nella rappresentazione accoppiata, dove si tratta il momento angolare totale (momento di spin + momento orbitale), gli autostati sono $| J, M_{J}, S, L ⟩$ e questi stati generano uno spazio di fnzioni di dimensione

$\sum_{J = J_{\min} = | L - S |}^{J_{\max} = L + S} (2 J + 1)$

siccome $M_{J} = J, J - 1, \dots, - J + 1, - J$ . Ovviamente, la dimensione dello spazio di funzioni nelle due rappresentazioni deve essere la stessa.

Ad esempio, per $S = 1, L = 2$ , ci sono $(2 \cdot 1 + 1) (2 \cdot 2 + 1) = 15$ stati diversi, corrispondenti al termine ³D, dei quali $1 = (2 \cdot 3 + 1) = 7$ appartengono al livello ³D₃ (J = 3). La somma dei valori $(2 J + 1)$ per ogni livello appartenente allo stesso termine, deve essere uguale a $(2 S + 1) (2 L + 1)$ , siccome le dimensioni, nelle due rappresentazioni, coincidono (come anticipato sopra); in questo caso, J può essere 1, 2, o 3, e dunque $3 + 5 + 7 = 15$ .

Grado di parità

La parità del termine atomico è data da:

P = (- 1)^{\sum_{i} l_{i}}

dove $l_{i}$ è il numero quantico azimutale del singolo elettrone.

Nel caso sia dispari, la parità del termine spettroscopico è indicata dall'apice " $o$ ", altrimenti l'apice è omesso ^[2]

^{2} P_{1 / 2}^{o}

ha parità dispari,

^{3} P_{0}

ha parità pari.

In alternativa la parità può essere indicata con i pedici " $g$ " o " $u$ ", che indicano rispettivamente gerade (termine tedesco che sta per "pari") e ungerade ("dispari"):

^{2} P_{1 / 2, u}

ha parità dispari,

^{3} P_{0, g}

ha parità pari.

Stato fondamentale

Il termine spettroscopico dello stato fondamentale è quello dello stato con massimi $S$ e $L$ .

Considerata la configurazione elettronica più stabile, le shell complete non contribuiscono al momento angolare totale. Se tutte le shell sono complete, il termine spettroscopico è $^{1} S_{0}$ .
Gli elettroni si distribuiscono seguendo il principio di esclusione di Pauli, e riempiono gli orbitali partendo da quelli con il massimo numero quantico magnetico $m_{l}$ con un solo elettrone. Si assegna il massimo valore del numero quantico di spin $m_{s}$ ad ogni orbitale, ovvero $+ 1 / 2$ . Quando tutti gli orbitali hanno un elettrone essi vengono completati con il secondo elettrone di spin $- 1 / 2$ con lo stesso metodo.
Lo spin totale $S$ è pari alla somma degli $m_{s}$ di ogni elettrone. Il momento angolare orbitale totale $L$ è pari alla somma degli $m_{l}$ di ogni elettrone.
Il momento angolare totale è pari a $J = | L - S |$ se la shell è meno di metà completa, $J = L + S$ se la shell è più di metà completa. Se la shell è esattamente riempita a metà $L$ è nullo e $J = S$ (terza regola di Hund)^[3].

Generalizzazione

Per calcolare il termine spettroscopico di una data configurazione elettronica si procede nel modo seguente^[4]:

Si calcola il numero $N$ di possibili microstati di una data configurazione elettronica, si riempiono parzialmente le subshell e per un dato numero quantico orbitale $l$ . Il numero totale di elettroni che possono essere disposti è $t = 2 (2 l + 1)$ . Se vi sono $e$ elettroni in una data subshell il numero di possibili microstati è:^[5]

N = (\binom{t}{e}) = \frac{t!}{e! (t - e)!} .

Si prenda ad esempio la configurazione elettronica del carbonio:

1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{2}

. Dopo aver rimosso le subshell piene vi sono due elettroni nel livello

p (l = 1)

, così che si hanno:

N = \frac{6!}{2! 4!} = 15

differenti microstati.

Si disegnano quindi nel modo seguente i possibili microstati e si calcola $M_{L}$ e $M_{S}$ per ciascuno di essi, con $M = \sum_{i = 1}^{e} m_{i}$ , dove $m_{i}$ è o $m_{l}$ oppure $m_{s}$ per l' $i$ -esimo elettrone e $M_{L, S}$ rappresenta rispettivamente il $M_{L}$ o il $M_{S}$ risultante:

	$+ 1$	$0$	$- 1$	$M_{L}$	$M_{S}$
	$m_{l}$
tutti "su"	↑	↑		$+ 1$	$+ 1$
	↑		↑	$0$	$+ 1$
		↑	↑	$- 1$	$+ 1$
tutti "giù"	↓	↓		$+ 1$	$- 1$
	↓		↓	$0$	$- 1$
		↓	↓	$- 1$	$- 1$
uno "su" uno "giù"	↑↓			$+ 2$	$0$
	↑	↓		$+ 1$	$0$
	↑		↓	$0$	$0$
	↓	↑		$+ 1$	$0$
		↑↓		$0$	$0$
		↑	↓	$- 1$	$0$
	↓		↑	$0$	$0$
		↓	↑	$- 1$	$0$
			↑↓	$- 2$	$0$

Si conta quindi il numero di microstati per ogni combinazione di $M_{L} - M_{S}$

		$+ 1$	$0$	$- 1$
		$M_{S}$
$M_{L}$	$+ 2$		$1$
	$+ 1$	$1$	$2$	$1$
	$0$	$1$	$3$	$1$
	$- 1$	$1$	$2$	$1$
	$- 2$		$1$

Si estrae la più piccola tabella rappresentante ogni possibile termine. Ogni tabella ha dimensione $(2 L + 1) (2 S + 1)$ e tutte le sue entrate saranno $1$ . La prima ad essere estratta corrisponde a $M_{L}$ che varia tra $- 2$ a $+ 2$ (cioè $L = 2$ ), con un solo valore per $M_{S}$ (cioè $S = 0$ ): questo corrisponde al termine $1 D$ . Il resto della tabella è 3×3. Si estrae quindi la seconda tabella, rimuovendo le entrate per $M_{L}$ e $M_{S}$ , entrambe variano tra $- 1$ a $+ 1$ (cioè $S = L = 1$ , il termine $3 P$ ). La restante parte della tabella è 1×1, con $L = S = 0$ , cioè il termine $1 S$ .

$𝐒 = 𝟎, 𝐋 = 𝟐 𝐉 = 𝟐$
		$0$
		$M_{s}$
$M_{l}$	$+ 2$	$1$
	$+ 1$	$1$
	$0$	$1$
	$- 1$	$1$
	$- 2$	$1$

$𝐒 = 𝟏, 𝐋 = 𝟏, 𝐉 = 𝟐, 𝟏, 𝟎$
		$+ 1$	$0$	$- 1$
		$M_{s}$
$M_{l}$	$+ 1$	$1$	$1$	$1$
	$0$	$1$	$1$	$1$
	$- 1$	$1$	$1$	$1$

$𝐒 = 𝟎, 𝐋 = 𝟎, 𝐉 = 𝟎$
		$0$
		$M_{s}$
$M_{l}$	$0$	$1$

Infine, applicando le regole di Hund, si ricava lo stato fondamentale.

Note

Bibliografia

Voci correlate

Template:Portale

[1] Template:Cita libro p. 28

[2] Template:Cita libro p. 58

[3] Template:Cita libro p. 64

[4] Template:Cita libro cap. 5

[5] Template:Cita libro p. 62

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Termine spettroscopico

Indice

Notazione

Termini, livelli e stati

Grado di parità

Stato fondamentale

Generalizzazione

Note

Bibliografia

Voci correlate

Menu di navigazione

Termine spettroscopico

Notazione

Termini, livelli e stati

Grado di parità

Stato fondamentale

Generalizzazione

Note

Bibliografia

Voci correlate

Menu di navigazione

Ricerca