Teorema di limitatezza

Template:F Il teorema di limitatezza è un teorema di analisi matematica che assume forme diverse a seconda del contesto, e afferma che un oggetto che ha un limite è necessariamente limitato. Si applica generalmente a successioni e funzioni.

Successioni

Enunciato

Il teorema di limitatezza per successioni di numeri reali afferma che

Una successione $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ di numeri reali, convergente ad un limite finito $l$, è limitata, esiste cioè un numero reale $K$ tale che $|a_n|\le K$ per ogni $n$.

Dimostrazione

Dalla definizione di limite, prendendo $ϵ=1$, si deduce che esiste un $N$ tale che $a_n$ è nell'intervallo limitato $[l-1,l+1]$ per ogni $n>N$: quindi la sottosuccessione formata da tutti i termini $a_n$ con $n>N$ è limitata.

La successione completa $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ è ottenuta da questa aggiungendo un numero finito di termini $a_1,\dots ,a_N$, e quindi è anch'essa limitata. Concretamente, $K$ si ottiene come

$K=\max \{|a_1|,\dots ,|a_N|,|l-1|,|l+1|\}.$

Funzioni

Enunciato

Il teorema di limitatezza per funzioni, solitamente chiamato teorema di limitatezza locale, afferma che

Sia $f:X\to ℝ$ una funzione definita su un aperto $X$ dei numeri reali che ha un limite finito in un punto $x_0$ di accumulazione per $X$.

Allora esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che $f(U\cap X)$ è un insieme limitato di $ℝ$. Esiste cioè un numero $K>0$ tale che il valore assoluto $|f(x)|<K$ per ogni $x$ in $U\cap X$.