Teorema di esistenza di Peano

In matematica, in particolare nell'ambito delle equazioni differenziali ordinarie, il teorema di esistenza di Peano (detto anche teorema di Peano, o teorema di Cauchy-Peano, secondo una denominazione che fa riferimento a Giuseppe Peano e Augustin-Louis Cauchy) è un importante enunciato che garantisce l'esistenza di soluzioni per un dato problema ai valori iniziali.

Il teorema

Sia $D$ un sottoinsieme aperto di $ℝ\times ℝ$, sia $f:D\to ℝ$ una funzione continua e si consideri un'equazione differenziale ordinaria esplicita del prim'ordine definita su $D$:

$y^{\prime }(x)=f(x,y(x))$

Allora ogni problema ai valori iniziali per $f$:

$y\left(x_0\right)=y_0$

con $(x_0,y_0)\in D$, possiede una soluzione locale $z:I\to ℝ$, dove $I$ è un intorno di $x_0$ in $ℝ$, tale che:

$z^{\prime }(x)=f(x,z(x))$

per tutti gli $x\in I$.

La soluzione può non essere unica, in quanto lo stesso valore iniziale $(x_0,y_0)$ può dare origine a diverse soluzioni $z$.

Altri risultati

Un risultato correlato con il teorema di Peano è il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy, che assume che $f$ sia una funzione lipschitziana rispetto al secondo argomento e giunge a concludere per l'esistenza e l'unicità di una soluzione (mentre l'enunciato di Peano mostra soltanto l'esistenza). Ad esempio, si consideri l'equazione:

$y^{\prime }={\left|y\right|}^{\frac{1}{2}}$

nel dominio $[0,1]$. Per il teorema di Peano questa equazione ha soluzioni, ma non si può applicare il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy in quanto il membro di destra non è lipschitziano in un intorno dell'origine: la soluzione non è unica.

Una generalizzazione significativa si ottiene con il teorema di esistenza di Carathéodory, che richiede condizioni più deboli per $f$. Tali condizioni sono però soltanto sufficienti.

Bibliografia

• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203, Paragrafo 50.
• Template:En G. Peano, Sull'integrabilità delle equazioni differenziali del primo ordine, Atti Accad. Sci. Torino, 21 (1886) 437–445.[1]
• Template:En G. Peano, Demonstration de l'intégrabilité des équations différentielles ordinaires, Mathematische Annalen, 37 (1890) 182–228.
• Template:En W. F. Osgood, Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung, Monatsheft Mathematik,9 (1898) 331–345.
• Template:En Template:Cita libro
• Template:En Murray, Francis J.; Miller, Kenneth S., Existence Theorems for Ordinary Differential Equations, Krieger, New York, Reprinted 1976, Original Edition published by New York University Press, 1954

Voci correlate

• Equazione differenziale ordinaria
• Funzione continua
• Funzione lipschitziana
• Problema di Cauchy
• Teorema di esistenza di Carathéodory
• Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy
• Lemma di Gronwall

Collegamenti esterni

• Template:SpringerEOM