Teorema di Kellogg (punto fisso)

In analisi matematica, il teorema di Kellogg è un teorema di punto fisso che fornisce una condizione di unicità per il punto fisso dato dal teorema di Brouwer (e dal teorema di Schauder, nel caso a dimensione infinita). Il teorema è stato dimostrato nel 1975 da R. B. Kellogg, e pubblicato sulla rivista Proceedings of the AMS.

Il teorema

Il teorema di Brouwer garantisce, data una funzione continua $f:\bar{B}\to \bar{B}$ definita sul disco chiuso:

$\bar{B}=\{x\in {ℝ}^n:|x|⩽1\}$

l'esistenza di un punto fisso, cioè un $x$ tale che $f(x)=x$.

Il teorema di Kellogg garantisce che, sotto opportune ipotesi, tale punto fisso è anche unico, similmente a quanto accade nel teorema delle contrazioni. Nello specifico stabilisce che se valgono le ipotesi seguenti:

• La funzione $f\in C^1(D)$ è una funzione completamente continua definita sulla chiusura $\bar{D}$ di un sottoinsieme aperto convesso $D$ in uno spazio di Banach reale.
• Per ogni $x$ in $D$, la derivata $f^{\prime }$ non ha autovalore 1.
• Non esistono punti fissi sul bordo. In altre parole, $f(x)\ne x$ per ogni $x$ in $\partial D$.

Allora $f$ ha un unico punto fisso nell'interno $D$.

Esiste una seconda versione del teorema:

sia $D$ un sottoinsieme aperto, convesso e limitato di uno spazio di Banach reale $X$. Sia $F:\bar{D}\to \bar{D}$ un'applicazione continua, compatta e differenziabile secondo Fréchet su $D$. Si supponga che:

• per ogni $x\in D$, 1 non è un autovalore di $F^{\prime }(x)$.
• per ogni $x\in \partial D$, si ha $x=F(x)$.

Allora $F$ ha un unico punto fisso in $D$.

Voci correlate

• Teorema del punto fisso di Brouwer
• Teoremi di punto fisso

Collegamenti esterni

• L'articolo di Kellog sui Proceeding of the AMS, rivista della American Mathematical Society.
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