Teorema di Green

Template:Nota disambigua In matematica il teorema di Green, il cui nome è dovuto a George Green, pone in relazione un integrale di linea attorno a una curva chiusa semplice e un integrale doppio su di una regione piana limitata dalla medesima curva. Si tratta di un caso speciale, ristretto a due dimensioni, del teorema del rotore, a sua volta caso particolare del teorema di Stokes.

Enunciato

Sia $\partial S$ una curva chiusa semplice nel piano positivamente orientata (Diremo che la curva $\partial S$ orientata positivamente è un'orientazione positiva per la frontiera se per ogni $x$ appartenente alla frontiera, l'angolo tra il vettore tangente e il vettore normale alla curva misurato in senso orario è di $\pi /2$) regolare a tratti, e sia $S$ la superficie di cui è frontiera. Se $f$ e $g$ sono due funzioni reali di due variabili reali che hanno le derivate parziali continue su una regione aperta che contiene $S$, allora:

$\underset{\partial S}{\int }(f\mathrm{d}x+g\mathrm{d}y)=\underset{S}{\iint }(\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Poiché il punto iniziale ed il punto finale della curva coincidono, essendo essa chiusa, talvolta si preferisce utilizzare la notazione:

${\oint }_{\partial S}(f\mathrm{d}x+g\mathrm{d}y)$

Interpretazione

Se si considera un campo vettoriale $𝐅$ su ${ℝ}^2$ definito da:

$𝐅(x,y):=(f(x,y),g(x,y))$

la quantità:

${\oint }_{\partial S}(f\mathrm{d}x+g\mathrm{d}y)$

rappresenta l'integrale di $𝐅\cdot 𝐧$, dove $𝐧$ è la normale esterna alla curva $\partial S$ in ogni punto. Dunque tale integrale rappresenta la circuitazione del campo $𝐅$ lungo la curva $\partial S$.

D'altra parte l'espressione:

$\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}$

è il modulo del rotore di $𝐅$. Infatti, nel caso di un campo planare e di un insieme $S$ del piano, il rotore è un vettore parallelo alla normale alla superficie $S$, e dunque:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐅\cdot \widehat{𝐧}=\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}$

Quindi l'uguaglianza stabilita dal teorema stabilisce che la circuitazione di un campo vettoriale attraverso una curva è uguale al flusso del rotore del campo attraverso la superficie delimitata da tale curva. Questo è ciò che afferma il teorema del rotore, che è una generalizzazione del teorema di Green al caso di ${ℝ}^3$.

Dimostrazione per superficie semplice

Template:Vedi anche Il teorema di Green si dimostra se si provano le due equazioni seguenti:

$\underset{\partial S}{\int }f\mathrm{d}x=-\underset{S}{\iint }\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}s\underset{\partial S}{\int }g\mathrm{d}y=\underset{S}{\iint }\frac{\partial g}{\partial x}\mathrm{d}s$

Se si esprime $S$ come la regione:

$S:=\{(x,y)|a\le x\le b,g_1(x)\le y\le g_2(x)\}$

dove $g_1$ e $g_2$ sono funzioni continue, si può calcolare l'integrale doppio della prima relazione:

$\begin{array}{cc}\underset{S}{\iint }\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\mathrm{d}s& =\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{g_1(x)}{\overset{g_2(x)}{\int }}(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x)\\ & =\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,g_2(x))-f(x,g_1(x))\mathrm{d}x\end{array}$

Avendo utilizzato il teorema fondamentale del calcolo integrale.

Spezzando il bordo $\partial S$ di $S$ nell'unione delle quattro curve $\partial S_1$, $\partial S_2$, $\partial S_3$ e $\partial S_4$, si verifica che:

• Per $\partial S_1$ valgono le equazioni parametriche $x=x$, $y=g_1(x)$, $a\le x\le b$, e quindi si ottiene:

$\underset{\partial S_1}{\int }f(x,y)\mathrm{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,g_1(x))\mathrm{d}x$ .

• Per $\partial S_3$ si usano le equazioni parametriche $x=x$, $y=g_2(x)$, $a\le x\le b$, e si ottiene:

$\begin{array}{cc}\underset{\partial S_3}{\int }f(x,y)\mathrm{d}x& =-\underset{-\partial S_3}{\int }f(x,y)\mathrm{d}x\\ & =-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,g_2(x))\mathrm{d}x\end{array}$

• Per $\partial S_2$ e $\partial S_4$ la variabile $x$ è costante poiché ci si muove su un trattino rettilineo perpendicolare all'asse delle ascisse, il che implica:

$\underset{\partial S_4}{\int }f(x,y)\mathrm{d}x=\underset{\partial S_2}{\int }f(x,y)\mathrm{d}x=0$

e quindi:

$\begin{array}{cc}\underset{\partial S}{\int }f\mathrm{d}x& =\underset{\partial S_1}{\int }f(x,y)\mathrm{d}x+\underset{\partial S_2}{\int }f(x,y)\mathrm{d}x+\underset{\partial S_3}{\int }f(x,y)\mathrm{d}x+\underset{\partial S_4}{\int }f(x,y)\mathrm{d}x\\ & =-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,g_2(x))\mathrm{d}x+\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,g_1(x))\mathrm{d}x\end{array}$

Sommando questa con l'integrale doppio della prima relazione definito in precedenza si ottiene:

$\underset{\partial S}{\int }f(x,y)\mathrm{d}x=-\underset{S}{\iint }\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}s$

e la seconda relazione si dimostra in modo analogo.

Relazione con il teorema di Stokes

Template:Vedi anche Il teorema di Green è un caso speciale del teorema di Stokes che si verifica considerando una regione nel piano x-y. Si ponga di avere un campo vettoriale $𝐅$ in tre dimensioni la cui componente z sia sempre nulla, ovvero $𝐅=(L,M,0)$. Per il membro alla sinistra del teorema di Green si ha:

$\begin{array}{cc}{\oint }_C(L\mathrm{d}x+M\mathrm{d}y)& ={\oint }_C(L,M,0)\cdot (\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z)\\ & ={\oint }_C𝐅\cdot d𝐫\end{array}$

e per il teorema del rotore (o di Kelvin–Stokes):

${\oint }_C𝐅\cdot \mathrm{d}𝐫=\underset{S}{\iint }\mathrm{\nabla }\times 𝐅\cdot \widehat{𝐧}\mathrm{d}S$

dove la superficie $S$ è la regione nel piano e $\widehat{𝐧}$ è il versore normale in direzione z. L'integrando diventa:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\times 𝐅\cdot \widehat{𝐧}& =[(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial M}{\partial z})𝐢+(\frac{\partial L}{\partial z}-\frac{\partial 0}{\partial x})𝐣+(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y})𝐤]\cdot 𝐤\\ & =(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y})\end{array}$

sicché si ottiene il membro di destra del teorema di Green:

$\underset{S}{\iint }\mathrm{\nabla }\times 𝐅\cdot \widehat{𝐧}\mathrm{d}S=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y})\mathrm{d}A$

Relazione con il teorema della divergenza

Template:Vedi anche Considerando campi vettoriali in due dimensioni il teorema di Green è equivalente alla seguente versione bidimensionale del teorema della divergenza:

$\underset{D}{\iint }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)\mathrm{d}A={\oint }_C𝐅\cdot \widehat{𝐧}\mathrm{d}s$

dove $\widehat{𝐧}$ è il versore normale uscente alla frontiera $C$ di $D$. Infatti, dal momento che nel teorema di Green $\mathrm{d}𝐫=(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ è un vettore tangente alla curva, e dato che la curva $C$ è orientata in senso antiorario, il vettore normale $\widehat{𝐧}$ è il vettore $(\mathrm{d}y,-\mathrm{d}x)$. La sua lunghezza è $\sqrt{\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2}=\mathrm{d}s$, e quindi $\widehat{𝐧}\mathrm{d}s=(\mathrm{d}y,-\mathrm{d}x)$. Detto $𝐅=(P,Q)$, il membro alla destra diventa:

${\oint }_C𝐅\cdot \widehat{𝐧}\mathrm{d}s={\oint }_{C}P\mathrm{d}y-Q\mathrm{d}x$

che con il teorema di Green assume la forma:

$\begin{array}{cc}{\oint }_C-Q\mathrm{d}x+P\mathrm{d}y& =\underset{D}{\iint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y})\mathrm{d}A\\ & =\underset{D}{\iint }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)\mathrm{d}A\end{array}$

L'implicazione inversa si mostra in modo analogo.

Bibliografia

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Voci correlate

• Gradiente
• Divergenza
• Teorema della divergenza
• Rotore (matematica)
• Teorema di Stokes
• Teorema integrale di Cauchy

Collegamenti esterni

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