Teorema di Cauchy (teoria dei gruppi)

In matematica, il teorema di Cauchy è un teorema della teoria dei gruppi finiti; afferma che, se $G$ è un gruppo finito di ordine $n>1$, e $p$ è un numero primo che divide $n$, allora esiste in $G$ un elemento di ordine $p$, e quindi un sottogruppo con $p$ elementi.

Prende nome da Augustin-Louis Cauchy.

Il teorema di Cauchy è un inverso parziale del teorema di Lagrange, ed è generalizzato dal primo teorema di Sylow (che garantisce l'esistenza di sottogruppi di ordine $p^k$ se $p$ è un numero primo e $p^k$ divide l'ordine del gruppo).

Dimostrazione

Sia $G$ un gruppo e $p$ un primo che divide l'ordine del gruppo. Consideriamo il seguente insieme di $p$-uple di elementi di $G$:

$P=\{(a_1,a_2,\dots ,a_p)\mid a_1{a}_2\cdots a_p=e\}$,

dove $e$ è l'identità del gruppo.

L'insieme $P$ contiene esattamente $n^{p-1}$ elementi: i primi $p-1$ possono essere scelti ciascuno in $n$ modi distinti, mentre la scelta dell'ultimo è obbligata (deve essere l'inverso di $a_1\cdots a_{p-1}$).

Diciamo ora che due $p$-uple sono equivalenti se e solo se una è ottenibile dall'altra permutandone ciclicamente gli elementi; ovvero, le $p$-uple equivalenti a $(a_1,\dots ,a_p)$ sono quelle del tipo

$(a_t,a_{t+1},\dots ,a_p,a_1,\dots ,a_{t-1})$,

per un intero $t$ compreso tra $1$ e $p$. Questa è una relazione di equivalenza; le classi di equivalenza possono anche essere considerate come le orbite dell'azione naturale di ${\mathbb{Z}}_p$ su $P$.

Se tutti gli elementi della $p$-upla $(a_1,a_2,\dots ,a_p)$ sono uguali, allora essa è l'unico elemento della sua classe di equivalenza; d'altro canto, se due elementi della $p$-upla sono distinti, allora (essendo $p$ un numero primo) la classe di equivalenza comprende esattamente $p$ elementi.

Esiste almeno una $p$-upla in $P$ con tutti gli elementi uguali, quella in cui sono tutti uguali all'elemento neutro; di conseguenza, se non ce ne fossero altre, si avrebbe

$|P|=n^{p-1}=1+hp$,

dove $h$ è un intero positivo. Poiché $p$ divide $n$, questo è assurdo, e quindi deve esistere un $a$ diverso dall'elemento neutro tale che $(a,a,\dots ,a)\in P$; in particolare, l'ordine di $a$ è esattamente $p$.

Conseguenze

Una conseguenza immediata di questo teorema è il fatto che, se tutti gli elementi di un gruppo finito hanno per ordine una potenza di $p$, allora anche l'ordine $n$ del gruppo è una potenza di $p$: se infatti $n$ fosse diviso da un altro primo $q$, esisterebbe un sottogruppo con $q$ elementi, contro l'ipotesi.

Bibliografia

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