Teorema di Bendixson-Dulac

In matematica, teorema di Bendixson-Dulac è un teorema che consente di stabilire se per un sistema autonomo esistono o meno soluzioni periodiche.

Il teorema fu proposto dal matematico svedese Ivar Otto Bendixson nel 1901 ed è stato successivamente perfezionato dal francese Henri Dulac nel 1933 usando il teorema di Green.

Il teorema

Se esiste una funzione $\phi (x,y)$ tale che:

$\frac{\partial (\phi f)}{\partial x}+\frac{\partial (\phi g)}{\partial y}$

abbia lo stesso segno ($\ne 0$) quasi ovunque (eccetto un insieme di misura nulla) in una regione semplicemente connessa, allora il sistema autonomo:

$\frac{dx}{dt}=f(x,y)$

$\frac{dy}{dt}=g(x,y)$

non ha soluzioni periodiche.

Dimostrazione

Senza perdere di generalità si può considerare una funzione $\phi (x,y)$ tale che:

$\frac{\partial (\phi f)}{\partial x}+\frac{\partial (\phi g)}{\partial y}>0$

in un dominio semplicemente connesso di $R$. Si supponga che esiste una soluzione $C$ del sistema in $R$ che è una curva chiusa, e sia $D$ la regione delimitata da $C$. Per il teorema di Green:

$\underset{D}{\overset{}{\iint }}(\frac{\partial (\phi f)}{\partial x}+\frac{\partial (\phi g)}{\partial y})dxdy=\underset{C}{\overset{}{\oint }}-\phi gdx+\phi fdy=\underset{C}{\overset{}{\oint }}\phi (-\dot{y}dx+\dot{x}dy)$

Dal momento che lungo $C$ si ha $dx=\dot{x}dt$ e $dy=\dot{y}dt$, l'integrando si annulla: essendo una contraddizione, non esiste alcuna curva chiusa $C$.

Bibliografia

• Template:En S.E. Cappell, J.L. Shaneson, Non-linear similarity Ann. of Math. , 113 (1981)
• Template:En N.H. Kuiper, The topology of the solutions of a linear differential equation on , Proc. Internat. Congress on Manifolds (Tokyo, 1973)
• Template:En N.H. Kuiper, J.W. Robbin, Topological classification of linear endomorphisms Inv. Math. , 19 (1973)

Voci correlate

• Sistema autonomo (matematica)
• Spazio semplicemente connesso
• Teorema di Green
• Teorema di Poincaré-Bendixson