Teorema della traccia

Il teorema della traccia è un importante risultato di analisi funzionale che permette di definire il restringimento ad un dominio una funzione definita quasi ovunque, per la quale quindi, essendo i bordi del dominio di misura di Lebesgue nulla, non sarebbe è possibile farlo nella maniera classica.

Tale restringimento permette quindi di estendere teoremi che legano i valori di una funzione ai suoi valori sul bordo del dominio di definizione, come ad esempio il teorema di Green-Gauss. Inoltre tale teorema ci permette di formulare una definizione alternativa degli spazi di Sobolev $W_0^{m,p}$.

Il teorema di seguito riportato chiede per il dominio $\mathrm{\Omega }$ condizioni più stringenti di regolarità rispetto a quelle strettamente necessarie. Infatti, le condizioni minime sono quelle per l'esistenza di soluzioni delle equazioni di Dirichlet non omogenee.

Definizione di traccia

Sia $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ un aperto e limitato e sia $u\in H^m(\mathrm{\Omega })$, dove abbiamo indicato con $H^m(\mathrm{\Omega })$ lo spazio di Sobolev $W^{m,2}(\mathrm{\Omega })$. Un operatore lineare continuo $\gamma =({\gamma }_0,\dots ,{\gamma }_m):H^m(\mathrm{\Omega })\to (L^2(\partial \mathrm{\Omega }))$ si dice operatore di traccia se per ogni $u\in H^m(\mathrm{\Omega })\cap C^{\mathrm{\infty }}(\overline{\mathrm{\Omega }})$ risulta ${\gamma }_0(u)=u{|}_{\partial \mathrm{\Omega }}$, ${\gamma }_i(u)=\frac{{\partial }^{i}u}{\partial {\nu }^i}{|}_{\partial \mathrm{\Omega }}$, per ogni $i=1,\dots ,m-1$, dove $\nu$ indica la normale esterna al bordo di $\mathrm{\Omega }$.

Teorema

Sia $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ aperto limitato di classe $C^{m+1}$, allora esiste un operatore traccia $\gamma =({\gamma }_0,\dots ,{\gamma }_m):H^m(\mathrm{\Omega })\to (L^2(\partial \mathrm{\Omega }))$ tale che

• se $u\in C^{\mathrm{\infty }}(\overline{\mathrm{\Omega }})$, allora ${\gamma }_0(u)=u{|}_{\partial \mathrm{\Omega }}$, ${\gamma }_i(u)=\frac{{\partial }^{i}u}{\partial {\nu }^i}{|}_{\partial \mathrm{\Omega }}$, per ogni $i=1,\dots ,m-1$, dove $\nu$ indica la normale esterna al bordo di $\mathrm{\Omega }$;
• l'immagine di $\gamma$ è un sottospazio di ${(L^2(\partial \mathrm{\Omega }))}^m$, più precisamente è $\prod _{j=0}^{m-1}{H}^{m-j-\frac{1}{2}}(\partial \mathrm{\Omega })$;
• il nucleo di $\gamma$ è lo spazio di Hilbert $H_0^m(\mathrm{\Omega })$.

Conseguenze

La traccia permettere di estendere il teorema di Green-Gauss a funzioni definite su spazi di Sobolev.

Teorema di Green

Sia $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ aperto limitato di classe $C^1$. Siano $u$ e $v$ in $H^1(\mathrm{\Omega })$. Allora, per ogni $i=1,\dots ,m$

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }u(x)\frac{\partial v}{\partial x_i}(x)dx=-\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\frac{\partial u}{\partial x_i}(x)v(x)dx+\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }{\gamma }_0(u)(x){\gamma }_0(v)(x){\nu }_i(x)d\sigma (x),$

dove ${\nu }_i(x)$ indica l'$i$-esima componente del versore normale uscente dal bordo di $\mathrm{\Omega }$ in $x$.

Bibliografia

• Kesavan, S. Functional analysis and applications. Wiley, 1988.

Voci correlate

• Spazio di Sobolev
• Equazioni ellittiche
• teorema di Green
• Teorema degli amici e degli sconosciuti
• Teorema di Josefson-Nissenzweig
• Teorema di Monsky