Teorema della mediana

In geometria piana, il teorema della mediana è un teorema che lega la lunghezza della mediana in un triangolo alle lunghezze dei tre lati. È attribuito ad Apollonio. La sua dimostrazione si può ricondurre alla legge del coseno o teorema di Carnot.

Enunciato

In un triangolo il doppio del quadrato della mediana relativa ad un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati diminuito della metà del quadrato del primo lato.

In altri termini, con riferimento al triangolo OAB vale l'identità:

$2\stackrel{2}{\stackrel{‾}{OM}}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{OA}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{OB}}-\frac{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AB}}}{2}$, dove M è il punto medio di AB.

Prima dimostrazione

Ponendo:

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{m}.$

Si ha:

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{m}-\overrightarrow{u},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{m}+\overrightarrow{u}$

Elevando al quadrato scalare i membri delle ultime uguaglianze si ha:

${\overrightarrow{a}}^2=(\overrightarrow{m}-\overrightarrow{u}{)}^2{\overrightarrow{b}}^2=(\overrightarrow{m}+\overrightarrow{u}{)}^2$

sviluppando i calcoli si ottiene:

${\overrightarrow{m}}^2-2\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{u}+{\overrightarrow{u}}^2={\overrightarrow{a}}^2$

${\overrightarrow{m}}^2+2\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{u}+{\overrightarrow{u}}^2={\overrightarrow{b}}^2$

successivamente sommando membro a membro:

$2m^2+2u^2=a^2+b^2$

e infine:

$2m^2=a^2+b^2-\frac{(2u{)}^2}{2}$.

Seconda dimostrazione

Ponendo:

$\widehat{OMA}=\theta ,\widehat{OMB}=\pi -\theta$

applicando, ora, il teorema del coseno ai triangoli OMA e OMB, si ha:

$b^2=m^2+u^2-2mu\cos (\theta )$

$a^2=m^2+u^2-2mu\cos (\pi -\theta )=m^2+u^2+2mu\cos (\theta )$

Sommando quindi membro a membro le ultime uguaglianze si perviene all'identità richiesta.