Teorema della funzione aperta (analisi funzionale)

In analisi funzionale, il teorema della funzione aperta o teorema dell'applicazione aperta, altrimenti noto come teorema di Banach-Schauder, stabilisce che un operatore lineare continuo suriettivo tra spazi di Banach è una funzione aperta.

Enunciato

Sia $T:X\to Y$ un operatore lineare continuo suriettivo tra spazi di Banach $X$ e $Y$. Allora $T$ è una funzione aperta, ovvero se $U$ è un insieme aperto in $X$, allora $T(U)$ è aperto in $Y$.

Dimostrazione

La dimostrazione fa uso del teorema della categoria di Baire, e si può suddividere in tre parti.

Parte 1

Occorre provare che per ogni $x\in X$ e per ogni $N\subseteq X$, intorno di $x$, $T(N)$ è un intorno di $Tx$. Per linearità risulta $T(x+A)=Tx+T(A)$ ($x\in X$, $A\subseteq X$), per cui è sufficiente provare l'affermazione per $x=0$. Poiché un intorno dello zero contiene necessariamente una palla $B_r=B(0,r)$, è sufficiente provare che per ogni $r>0$ esiste un $r^{\prime }>0$ tale che $B_{r^{\prime }}^Y\subseteq T(B_r^X)$. Osserviamo inoltre che $B_r=r{B}_1$ ed anche, per linearità, che $T(B_r^X)=rT(B_1^X)$ per ogni $r>0$.

Per la suriettività di $T$ si ha:

$Y=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cup }}T(B_n)=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cup }}\overline{T(B_n)}$.

Per il teorema della categoria di Baire esiste $\bar{n}$ tale che:$\overline{T(B_{\stackrel{‾}{n}})}$ ha interno non vuoto e pertanto, essendo:

$\overline{T(B_{\stackrel{‾}{n}})}=\bar{n}\overline{T(B_1)}$

deduciamo che $\overline{T(B_1)}$ ha interno non vuoto.

Parte 2

Sia $W$ un aperto di $Y$ tale che:

$W\subseteq \overline{T(B_1)}$

Ovviamente $\overline{T(B_1)}$ contiene lo zero, ma occorre provare che esiste $\epsilon >0$ tale che:

$B_{\epsilon }^Y\subseteq \overline{T(B_1)}$

Siano $x_0\in B_1$ e $y_0=T{x}_0\in W$. Poiché l'applicazione $x\mapsto x-x_0$ è un omeomorfismo, esiste un intorno $V$ di zero in $Y$ tale che:

$V\subseteq -y_0+\overline{T(B_1)}$

Si ha:

$-y_0+T(B_1)=\{-y_0+Tw,w\in B_1\}=\{T(w-x_0),w\in B_1\}\subseteq T(B_2)$

poiché $x_0,w\in B_1$ implica che $w-x_0\in B_2$. Pertanto abbiamo provato che:

$V\subseteq -y_0+\overline{T(B_1)}\subseteq \overline{T(B_2)}$

e quindi:

$\tilde{V}\doteq \frac{1}{2}V\subseteq \overline{T(B_1)}$

e $\tilde{V}$ è un intorno di zero in $Y$. Pertanto esiste $\epsilon >0$ tale che:

$B_{\epsilon }^Y\subseteq \overline{T(B_1)}$

Parte 3

Si vuole provare che $\overline{T(B_1)}\subseteq T(B_2)$, cosa che conclude la dimostrazione poiché ne segue che $B_{\frac{\epsilon }{2}}^Y$ risulta contenuto in $T(B_1)$. Sia $y\in \overline{T(B_1)}$. Si scelga $x_1\in B_1^X$ tale che $\Vert y-T{x}_1\Vert <\frac{\epsilon }{2}$, cioè $y-T{x}_1\in B_{\frac{\epsilon }{2}}^Y$. Per quanto detto in precedenza risulta:

$B_{\frac{\epsilon }{2}}^Y\subseteq \overline{T(B_{\frac{1}{2}}^X)}$

quindi possiamo scegliere $x_2\in B_{\frac{1}{2}}^X$ tale che:

$\Vert y-T{x}_1-T{x}_2\Vert <\frac{\epsilon }{4}$, cioè $y-T{x}_1-T{x}_2\in B_{\frac{\epsilon }{4}}^Y$

Iterando il procedimento risulta definita una successione $(x_n)$ in $X$ tale che:

$x_n\in B_{2^{1-n}}^X$ e $y-\sum _{j=1}^{n}T{x}_j\in B_{\epsilon 2^{1-n}}^Y$

Risulta:

$\Vert \sum _{j=n}^{n+p}{x}_j\Vert <2^{2-n}\mathrm{\forall }n,p\in \mathbf{\text{N}}$

quindi esiste:

$x=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_j$

e si ha:

$\Vert x\Vert \le \sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\Vert x_j\Vert <\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{1-j}=2$

Quindi $x\in B_2$ e, per la continuità di $T$, risulta $Tx=y$. Da ciò segue che

$\overline{T(B_1)}\ni y=Tx\in T(B_2)$

ed il teorema è provato.

Corollari

Template:Vedi anche Il teorema della funzione aperta ha due importanti conseguenze:

• Il teorema della funzione inversa afferma che se $T:X\to Y$ è un operatore lineare continuo e bigettivo tra gli spazi di Banach $X$ e $Y$, allora l'operatore inverso $T^{-1}:Y\to X$ è anch'esso continuo.
• Il teorema del grafico chiuso afferma che se $T:X\to Y$ è un operatore lineare tra gli spazi di Banach $X$ e $Y$, e se per ogni successione $x_n$ in $X$ tale che $x_n\to 0$ e $T{x}_n\to y$ segue che $y=0$, allora $T$ è continuo.

Bibliografia

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• Template:En Zeidler, E. Applied Functional Analysis: Applications to Mathematical Physics. New York: Springer-Verlag, 1995.
• Template:En M. de Wilde, Closed graph theorems and webbed spaces , Pitman (1978)
• Template:En H.H. Schaefer, Topological vector spaces , Springer (1971)
• Template:En H. Jarchow, Locally convex spaces , Teubner (1981)

Voci correlate

• Funzione aperta
• Operatore lineare continuo
• Teorema del grafico chiuso
• Teorema della categoria di Baire
• Teorema della funzione aperta (analisi complessa)