Teorema della farfalla

In matematica, e in particolare in geometria euclidea, il teorema della farfalla afferma che:

sia $M$ il punto medio di una corda $PQ$ di un cerchio e siano $AB$ e $CD$ altre due corde passanti per $M$ e siano $X$ e $Y$ i punti di intersezione tra le corde $AD$ e $BC$ e la corda $PQ$ rispettivamente. Allora $M$ sarà il punto medio di $XY$.

Dimostrazione

Dimostrazione del Teorema della farfalla

Siano $X{X}^{\prime }$ e $X{X}^{″}$ le perpendicolari, condotte da $X$, rispettivamente a $AM$ e a $DM$. In modo analogo, siano $Y{Y}^{\prime }$ e $Y{Y}^{″}$ le perpendicolari, condotte da $Y$, rispettivamente a $BM$ e a $CM$.

Adesso, poiché

$\mathrm{△}MX{X}^{\prime }\sim \mathrm{△}MY{Y}^{\prime },$

$\frac{MX}{MY}=\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{\prime }},$

$\mathrm{△}MX{X}^{″}\sim \mathrm{△}MY{Y}^{″},$

$\frac{MX}{MY}=\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{″}},$

$\mathrm{△}AX{X}^{\prime }\sim \mathrm{△}CY{Y}^{″},$

$\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{″}}=\frac{AX}{CY},$

$\mathrm{△}DX{X}^{″}\sim \mathrm{△}BY{Y}^{\prime },$

$\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{\prime }}=\frac{DX}{BY},$

Dalle precedenti equazioni, si può facilmente dedurre che

${\left(\frac{MX}{MY}\right)}^2=\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{\prime }}\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{″}},$

$=\frac{AX.DX}{CY.BY},$

$=\frac{PX.QX}{PY.QY},$

$=\frac{(PM-XM).(MQ+XM)}{(PM+MY).(QM-MY)},$

$=\frac{(PM{)}^2-(MX{)}^2}{(PM{)}^2-(MY{)}^2},$

poiché $PM$ = $MQ$

Ora,

$\frac{(MX{)}^2}{(MY{)}^2}=\frac{(PM{)}^2-(MX{)}^2}{(PM{)}^2-(MY{)}^2}.$

Pertanto, possiamo concludere che $MX=MY,$, ovvero $M$ è il punto medio di $XY.$

Bibliografia

H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer, Geometry Revisited, MAA, 1967.

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni
• The Butterfly Theorem su cut-the-knot
• A Better Butterfly Theorem su cut-the-knot
• Proof of Butterfly Theorem su PlanetMath
• The Butterfly Theorem di Jay Warendorff, da Wolfram Demonstrations Project.