Tensore di Einstein

Il tensore di Einstein esprime la curvatura dello spaziotempo nell'equazione di campo di Einstein per la gravitazione in teoria della relatività generale.

Definizione

Il tensore di Einstein è definito come

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }.$

In questa espressione $R_{\mu \nu }$ è il tensore di Ricci, $g_{\mu \nu }$ è il tensore metrico e $R$ è la curvatura scalare. Per ottenere il tensore di Einstein si contrae due volte la seconda identità di Bianchi

$g^{\beta \nu }{g}^{\alpha \mu }({\mathrm{\nabla }}_{\lambda }{R}_{\alpha \beta \mu \nu }+{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{R}_{\alpha \beta \nu \lambda }+{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{R}_{\alpha \beta \lambda \mu })=0$

Contraendo gli indici e tenendo conto dell'antisimmetria del tensore di Riemann, si ottiene

${\mathrm{\nabla }}_{\lambda }{R}_{\nu }^{\nu }-{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{R}_{\lambda }^{\mu }-{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{R}_{\lambda }^{\nu }=0$

Contraendo l'indice $\nu$, assimilando il secondo e il terzo termine e cambiando i segni abbiamo

$2{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{R}_{\lambda }^{\mu }-{\mathrm{\nabla }}_{\lambda }R=0$

Facendo uso della relazione ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }(2R_{\lambda }^{\mu }-{\delta }_{\lambda }^{\mu }R)=2{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{R}_{\lambda }^{\mu }-{\mathrm{\nabla }}_{\lambda }R$, possiamo riscrivere l'equazione precedente come

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }(2R_{\lambda }^{\mu }-{\delta }_{\lambda }^{\mu }R)=0$

che è detta seconda identità di Bianchi contratta due volte. Moltiplicando entrambi i membri per $g^{\nu \lambda }$ abbiamo

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }(2R^{\nu \mu }-g^{\nu \mu }R)=0$

ovvero

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }(R^{\nu \mu }-\frac{1}{2}{g}^{\nu \mu }R)=0$

Abbassando gli indici, e tenendo conto che sia il tensore metrico che il tensore di Ricci sono simmetrici, possiamo scrivere

${\mathrm{\nabla }}^{\mu }(R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R)=0$

La quantità tra parentesi coincide con la definizione di $G_{\mu \nu }$ data sopra.

Proprietà

Derivata covariante

La proprietà cruciale che caratterizza il tensore di Einstein è l'identità

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{G}^{\mu \nu }=0$

conseguenza della seconda identità di Bianchi. In altre parole, il tensore di Einstein ha divergenza nulla.

Questa proprietà può essere dimostrata nel modo seguente. La seconda identità di Bianchi recita:

${\mathrm{\nabla }}_{\lambda }{R}_{\rho \sigma \mu \nu }+{\mathrm{\nabla }}_{\rho }{R}_{\sigma \lambda \mu \nu }+{\mathrm{\nabla }}_{\sigma }{R}_{\lambda \rho \mu \nu }=0,$

Possiamo contrarre due volte questa uguaglianza usando il tensore metrico inverso:

$g^{\nu \sigma }{g}^{\mu \lambda }({\mathrm{\nabla }}_{\lambda }{R}_{\rho \sigma \mu \nu }+{\mathrm{\nabla }}_{\rho }{R}_{\sigma \lambda \mu \nu }+{\mathrm{\nabla }}_{\sigma }{R}_{\lambda \rho \mu \nu })=0$

e otteniamo

${\mathrm{\nabla }}^{\mu }{R}_{\rho \mu }-{\mathrm{\nabla }}_{\rho }R+{\mathrm{\nabla }}^{\nu }{R}_{\rho \nu }=0.$

In altre parole:

$2{\mathrm{\nabla }}^{\mu }{R}_{\rho \mu }-{\mathrm{\nabla }}_{\rho }R=0.$

L'ultima equazione è possibile riscriverla nella forma:

${\mathrm{\nabla }}_{\rho }{R^{\rho }}_{\mu }=\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}_{\mu }R,$

che risulta essere identica alle classiche identità di Bianchi contratte pubblicate per la prima volta dal matematico tedesco Aurel Voss nel 1880.

Traccia

La traccia del tensore di Ricci è la curvatura scalare $R$. La traccia $G$ del tensore di Einstein in dimensione $n$ può essere calcolata nel modo seguente:

$\begin{array}{cc}{g}^{\mu \nu }{G}_{\mu \nu }& =g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}^{\mu \nu }{g}_{\mu \nu }R\\ G& =R-\frac{1}{2}(nR)\\ G& =\frac{2-n}{2}R\end{array}$

In dimensione $n=4$ il tensore di Einstein ha quindi traccia $-R$, opposta a quella del tensore di Ricci.

In dimensione $n=2$ (varietà conformemente piatta) il tensore di Einstein ha traccia nulla.

Bibliografia

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