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Nell'algebra lineare, una matrice di rotazione è una matrice di trasformazione utilizzata per eseguire una rotazione nello spazio euclideo. Per esempio, utilizzando la seguente convenzione, la matrice

$R=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$

ruota i punti nel piano $xy$ in senso antiorario di un angolo $\theta$ rispetto all'origine di un sistema di riferimento cartesiano bidimensionale. Per ruotare un punto nel piano con coordinate standard $𝐯=(x,y)$, si deve moltiplicare la matrice $R$ per il vettore colonna, ottenendo:

$R𝐯=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\cos \theta -y\sin \theta \\ x\sin \theta +y\cos \theta \end{array}\right].$

Se $x$ e $y$ rappresentano le coordinate finali di un vettore, dove $x$ è il coseno e $y$ è il seno, allora le equazioni precedenti diventano l'identità trigonometrica. Infatti, una matrice di rotazione può essere letta come le formule di addizione trigonometriche in forma di matrice. Un modo per comprenderlo è ipotizzare di avere un vettore con un angolo di 30° rispetto all'asse $x$ e ruotarlo di altri 45°. Si ottengono le coordinate del punto finale del vettore a 75°.

Gli esempi riportati si applicato alle rotazioni attive di vettori in senso antiorario in un sistema di coordinate destrorso (con $y$ in senso antiorario rispetto a $x$) mediante pre-moltiplicazione (con la matrice $R$ sulla sinistra). Se uno di questi viene modificato (per esempio, ruotando gli assi in luogo dei vettori, si ha una trasformazione passiva), in quel caso si dovrebbe usare l'inversa della matrice di esempio, che coincide con la sua trasposta.

Una matrice quadrata $R$ è di rotazione se, e solo se, è ortogonale con numeri reali, (con $R^{𝖳}=R^{-1}$ e $\det R=1$).

Poiché la moltiplicazione di matrici non ha effetto sul vettore nullo (le coordinate dell'origine), le matrici di rotazione descrivono le rotazioni attorno all'origine, fornendo una descrizione algebrica di tali rotazioni e sono ampiamente utilizzate per calcoli in geometria, fisica e computer grafica. In alcuni testi, il termine rotazione viene generalizzato includendo le rotazioni improprie, con determinante −1 (invece di +1). Questi combinano rotazioni proprie con riflessioni (che invertono l'orientamento). In altri casi, dove le riflessioni vengono trascurate, la dicitura vera e propria può essere omessa. Qui verrà fatta quest'ipotesi.

L'insieme di tutte le matrici ortogonali di dimensione $n$ con determinante +1 è una rappresentazione di un gruppo noto come gruppo ortogonale speciale $\text{SO}(n)$, un esempio è il gruppo di rotazione tridimensionale $\text{SO}(3)$. L'insieme di tutte le matrici ortogonali di dimensione $n$ con determinante +1 o −1 è una rappresentazione del gruppo ortogonale (generale) $\text{O}(n)$.

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