T di Student multivariata

In statistica, la distribuzione t di Student multivariata è una distribuzione di probabilità multivariata. È una generalizzazione a vettori casuali della distribuzione t di Student, che è una distribuzione applicabile alle variabili casuali univariate. Mentre il caso di una matrice aleatoria potrebbe essere trattato all'interno di questa struttura, la distribuzione t di Student per matrici è distinta e fa particolare uso della struttura della matrice.

Definizione

Un metodo comune di costruzione di una distribuzione t di Student multivariata, per il caso di $p$ dimensioni, si basa sull'osservazione che se $𝐲$ e $u$ sono indipendenti e distribuiti come $𝒩(\mathrm{𝟎},\mathrm{\Sigma })$ e ${\chi }_{\nu }^2$ (cioè distribuzioni multivariate normali e chi-quadrate ) rispettivamente, la matrice $\mathrm{\Sigma }$ è una matrice p × p e $𝐲/\sqrt{u/\nu }=𝐱-\mathit{\mu }$, poi $𝐱$ ha densità

$\frac{\mathrm{\Gamma }[(\nu +p)/2]}{\mathrm{\Gamma }(\nu /2){\nu }^{p/2}{\pi }^{p/2}{\left|\mathrm{\Sigma }\right|}^{1/2}}{[1+\frac{1}{\nu }(𝐱-\mathit{\mu }{)}^T{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(𝐱-\mathit{\mu })]}^{-(\nu +p)/2}$

e si dice che sia distribuita come una t di Student multivariata con parametri $\mathrm{\Sigma },\mathit{\mu },\nu$ . Si noti che $\mathrm{\Sigma }$ non è la matrice di covarianza poiché la covarianza è data da $\nu /(\nu -2)\mathrm{\Sigma }$ (per $\nu >2$).

Nel caso speciale $\nu =1$, la distribuzione è una distribuzione di Cauchy multivariata.