Superpotenziale di Komar

In relatività generale, si definisce superpotenziale di Komar, relativo alla lagrangiana invariante di Einstein-Hilbert ${ℒ}_{\mathrm{G}}=\frac{1}{2\kappa }R\sqrt{-g}{\mathrm{d}}^{4}x$, la densità tensoriale espressa dall'equazione:

$U^{\alpha \beta }({ℒ}_{\mathrm{G}},\xi )=\frac{\sqrt{-g}}{\kappa }{\mathrm{\nabla }}^{[\beta }{\xi }^{\alpha ]}=\frac{\sqrt{-g}}{2\kappa }(g^{\beta \sigma }{\mathrm{\nabla }}_{\sigma }{\xi }^{\alpha }-g^{\alpha \sigma }{\mathrm{\nabla }}_{\sigma }{\xi }^{\beta }),$

per ogni campo vettoriale $\xi ={\xi }^{\rho }{\partial }_{\rho }$, e dove il simbolo ${\mathrm{\nabla }}_{\sigma }$ indica la derivata covariante rispetto alla connessione di Levi Civita.

La 2-forma di Komar:

$𝒰({ℒ}_{\mathrm{G}},\xi )=\frac{1}{2}{U}^{\alpha \beta }({ℒ}_{\mathrm{G}},\xi )\mathrm{d}{x}_{\alpha \beta }=\frac{1}{2\kappa }{\mathrm{\nabla }}^{[\beta }{\xi }^{\alpha ]}\sqrt{-g}\mathrm{d}{x}_{\alpha \beta },$

dove con $\mathrm{d}{x}_{\alpha \beta }={\iota }_{\partial \alpha }\mathrm{d}{x}_{\beta }={\iota }_{\partial \alpha }{\iota }_{\partial \beta }{\mathrm{d}}^{4}x$ si denota il prodotto interno tra un vettore e una forma differenziale, fu originariamente definita solo nel caso in cui il campo vettoriale $\xi$ è un campo vettoriale di Killing di tipo tempo.

Il superpotenziale di Komar è affetto dal problema del fattore anomalo: se lo si utilizza calcolandolo, per esempio, nel caso della metrica di Kerr-Newman, esso fornisce il valore corretto del momento angolare, ma solo la metà della massa prevista.

Bibliografia

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Voci correlate

• Azione di Einstein-Hilbert
• Derivata covariante