Superficie cartesiana esplicita

Template:F Una funzione $z=f(x,y)$ di classe $C^1$ definita nell'insieme aperto $\mathrm{\Omega }$, rappresenta una superficie cartesiana esplicita.

Piano tangente

Se la superficie è differenziabile in tutti i punti $(x_0,y_0,z_0)$ della superficie allora esiste il piano tangente:

$\zeta =f(x_0,y_0)+f_x(x-x_0)+f_y(y-y_0)$

Normale

Noto il piano tangente si possono definire due vettori normali:

$\overrightarrow{n}=\pm \{f_x,f_y,-1\}$

e quindi normalizzando otteniamo due versori normali:

$\overrightarrow{n}=\pm \frac{\{f_x,f_y,-1\}}{\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}}$

Area di una superficie cartesiana esplicita

L'area di una superficie cartesiana esplicita è data dalla somma di tutte le superfici infinitesime che vogliamo approssimino la nostra superficie. Al limite di queste superfici infinitesime che tendono a zero (o ugualmente al limite del numero di superfici infinitesime che tende all'infinito) la somma tende all'integrale:

$A(S)=\underset{\mathrm{\Omega }}{\iint }\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}dxdy$

Parametrizzazione

Qualsiasi superficie cartesiana esplicita si può parametrizzare:

$\{\begin{array}{c}x=u\\ y=v\\ z=\varphi (u,v)\end{array}$

In tal modo valgono tutte le considerazioni fatte per le superfici parametriche.

Voci correlate

• Superficie parametrica
• Superficie cartesiana implicita
• Integrale multiplo
• Normale (superficie)