Successione complessa

In matematica, una successione complessa è una successione composta da numeri o funzioni complesse.

Successione numerica

Una successione numerica complessa è una successione di infiniti termini complessi:

$z_1,z_2,\dots ,z_n,\dots$

Si dice che una successione complessa ha limite $z$ se per ogni $\epsilon >0$ esiste $n_0\in \mathbb{N}$, con $n_0>0$, tale per cui:

$|z_n-z|<\epsilon$

quando $n>n_0$. Si scrive:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_n=z$

Geometricamente questo significa che, per valori sufficientemente grandi di n, i punti $z_n$ si trovano tutti all'interno di un intorno circolare di centro $z$ e raggio $\epsilon$.

Supposto che i termini della successione siano $z_n=x_n+i\cdot y_n$ e il limite sia $z=x+i\cdot y$, allora si ha:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_n=z$

se e solo se:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=x\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n=y$

cioè se la parte reale ed immaginaria dei termini della successione tendono singolarmente alla parte reale ed immaginaria del limite.

Infatti, quando $n>n_1$ e quando $n>n_2$ le due successioni reali soddisfano rispettivamente:

$|x_n-x|<\frac{\epsilon }{2}|y_n-y|<\frac{\epsilon }{2}$

ed è sufficiente scegliere il più grande degli indici $n_0=\max (n_1,n_2)$ affinché valgano entrambi i limiti. Allora, secondo la definizione:

$|(x_n+i\cdot y_n)-(x+i\cdot y)|\le |x_n-x|+|y_n-y|=|z_n-z|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$

quando $n>n_0$. Viceversa, se per $n>n_0$ si ha:

$|(x_n+i\cdot y_n)-(x+i\cdot y)|<\epsilon$

allora si ha anche:

$|x_n-x|\le |(x_n+i\cdot y_n)-(x+i\cdot y)|<\epsilon |y_n-y|\le |(x_n+i\cdot y_n)-(x+i\cdot y)|<\epsilon$

Successioni di funzioni

Sia $f_n(z):E\to ℂ$ una successione di funzioni complesse su un dominio $A$ del piano complesso. Si dice che $\{f_n\}$ converge puntualmente alla funzione $f(z)$ in $A$ se:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(z)=f(z)\mathrm{\forall }z\in A$

Si dice che converge uniformemente alla funzione $f(z)$ in $A$ se:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{E}{\sup }\mid f_n(z)-f(z)\mid =0$

Si vede facilmente che se si verifica:

$f_n(z)=u_n(x,y)+i\cdot v_n(x,y)f(z)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)$

allora $\{f_n\}\to f$ rispettivamente puntualmente e uniformemente se e solo se $u_n\to u$ e $v_n\to v$ rispettivamente puntualmente e uniformemente .

Criterio di Cauchy

Template:Vedi anche Il criterio di Cauchy sulle successioni di funzioni complesse uniformemente convergenti afferma che $\{f_n\}\to f$ se e solo se esiste un numero $M\ge 0$ tale che:

$f_n(z)\le M\mathrm{\forall }z\in A$

e tale che per ogni $\epsilon >0$ esiste un indice $n_{\epsilon }$ tale per cui:

$\underset{E}{\sup }\mid f_n(z)-f_m(z)\mid \le \epsilon \mathrm{\forall }n,m\ge n_{\epsilon }$

Bibliografia

• Template:En John B. Conway, Functions of One Complex Variable, Springer Verlag, 1986
• Template:En Jerold E. Marsden, Michael J. Hoffman, Basic Complex Analysis, Freeman, 1987
• Template:En Reinhold Remmert, Theory of Complex Functions, Springer Verlag, 1991

Voci correlate

• Criterio di convergenza di Cauchy
• Limite di una successione
• Successione (matematica)
• Successione di funzioni

Collegamenti esterni

• Template:En https://web.archive.org/web/20140318105448/http://mathfaculty.fullerton.edu/mathews/c2003/ComplexSequenceSeriesMod.html
• Template:En https://www.math.lsu.edu/~neubrand/notes.pdf