Smoothstep

Grafico delle funzioni di primo ordine (smoothstep) e secondo ordine (smootherstep) normalizzate nell'intervallo $[0,1]$

Smoothstep è una famiglia di funzioni sigmoidee usate per l'interpolazione hermitiana e per il clamping in computer grafica, motori grafici, e apprendimento automatico.

Le smoothstep sono funzioni di una variabile reale a valori in $[0,1]$, caratterizzate da due parametri $a$ e $b$ rappresentanti gli estremi di un intervallo $[a,b]$ di valori nel dominio. Per ogni $x\in ℝ$, smoothstep mappa i valori $x\in (a,b)$ all'intervallo $(0,1)$, mentre tutti i valori $x\le a$ sono mappati in zero, e tutti i valori $x\ge b$ sono mappati in 1. Una funzione smoothstep normalizzata ha parametri $a=0$ e $b=1$. Nel seguito, quando non differentemente specificato, si assume che la funzione smoothstep sia normalizzata.

La funzione smoothstep di ordine $n$ interpola i valori tra 0 e 1 in modo tale che:

• quando la variabile è all'estremo sinistro dell'intervallo, l'immagine della funzione sia 0;
• quando la variabile è all'estremo destro dell'intervallo, l'immagine della funzione sia 1;
• le derivate (fino all'ordine $n$) della funzione presso gli estremi destro e sinistro abbiano valore zero.

Una funzione polinomiale che soddisfi tali vincoli può essere definita tramite l'interpolazione di Hermite. La funzione smoothstep per antonomasia è quella di primo ordine ${\mathrm{S}}_1(x)$, definita da un polinomio di terzo grado:

$\mathrm{smoothstep}(x)={\mathrm{S}}_1(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0,\\ 3x^2-2x^3,& 0\le x\le 1,\\ 1,& x>1.\end{array}$

Restringendo il dominio in $[0,1]$, la sua inversa può essere espressa analiticamente come:

${\mathrm{S}}_1^{-1}(x)=\frac{1}{2}-\sin \left(\frac{{\sin }^{-1}(1-2x)}{3}\right).$

La funzione smoothstep di ordine $n$ è rappresentata nella porzione centrale da un polinomio di Hermite di grado $2n+1$ e ha forma:

${\mathrm{S}}_n(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0,\\ x^{n+1},\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{n-k})(-x{)}^k& 0\le x\le 1,\\ 1,& x>1.\end{array}$

La funzione smoothstep di ordine zero ${\mathrm{S}}_0(x)$ è equivalente alla funzione identità troncata (nota in alcuni contesti, ad esempio in computer grafica, come funzione clamp):

${\mathrm{S}}_0(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0,\\ x,& 0\le x\le 1,\\ 1,& x>1.\end{array}$

La funzione smoothstep di secondo ordine ${\mathrm{S}}_2(x)$, anche nota come smootherstep e popolarizzata in computer grafica da Ken Perlin, ha forma:

$\mathrm{smootherstep}(x)=S_2(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0,\\ 6x^5-15x^4+10x^3,& 0\le x\le 1,\\ 1,& x>1.\end{array}$

Le successive funzioni smoothstep fino al sesto ordine sono rappresentate nell'intervallo $[0,1]$ dai seguenti polinomi:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{S}}_3(x)& =-20x^7+70x^6-84x^5+35x^4;\\ {\mathrm{S}}_4(x)& =70x^9-315x^8+540x^7-420x^6+126x^5;\\ {\mathrm{S}}_5(x)& =-252x^{11}+1386x^{10}-3080x^9+3465x^8-1980x^7+462x^6;\\ {\mathrm{S}}_6(x)& =924x^{13}-6006x^{12}+16380x^{11}-24024x^{10}+20020x^9-9009x^8+1716x^7.\\ \end{array}$