Sistema simmetrico

Un sistema di due equazioni con due incognite si dice simmetrico quando, scambiando tra loro le incognite (cioè sostituendo la $x$ alla $y$ e la $y$ alla $x$), le equazioni del sistema non mutano.

Tipi di sistemi simmetrici

Sono simmetrici i seguenti sistemi:

$\{\begin{array}{c}3x+3y=2\\ 5xy=-6\end{array}\{\begin{array}{c}9x^2+9y^2=10\\ x+y=2/3\end{array}$

Osserviamo che in ogni equazione, ridotta a forma normale, d'un sistema simmetrico accade sempre che se essa contiene, ad esempio, il termine $3x^2$ deve contenere anche il termine $3y^2$; se contiene il termine $6x^{2}y$ deve contenere anche il termine $6x{y}^2$ e così via. È evidente poi che se $x=\alpha ,y=\beta$ è una soluzione di un sistema simmetrico, anche $x=\beta ,y=\alpha$ è soluzione del sistema.

Il più semplice sistema simmetrico, detto elementare o fondamentale, è della forma:

$\{\begin{array}{c}x+y=S\\ xy=P\end{array}$

essendo $S$ e $P$ due numeri reali.

Esistono anche sistemi di grado superiore e possono essere ricondotti a questi

$1)\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=A\\ x+y=S\end{array}$

$2)\{\begin{array}{c}{x}^3+y^3=A\\ x+y=S\end{array}$

$3)\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=A\\ xy=P\end{array}$

con $A$ appartenente ai numeri reali

Metodi di risoluzione

Per risolvere il sistema elementare introduciamo la variabile ausiliaria $t$ e scriviamo l'equazione $t^2-st+p$. Le due soluzioni $t_1$ e $t_2$ sono le soluzioni del sistema. Possiamo utilizzare piccoli accorgimenti attraverso le Formule di Waring per rendere gli altri sistemi uguali a quello elementare.

$1)\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=A\\ x+y=S\end{array}$

Sapendo che $x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy$, calcoliamo e sostituiamo ottenendo il seguente sistema:

$\{\begin{array}{c}xy=(S^2-A)/2\\ x+y=S\end{array}$

In cui compaiono solo somma e prodotto per cui si procede nello stesso modo di un sistema elementare.

$2)\{\begin{array}{c}{x}^3+y^3=A\\ x+y=S\end{array}$

Sapendo che $x^3+y^3=(x+y{)}^3-3xy(x+y)$, calcoliamo e sostituiamo ottenendo il seguente sistema:

$\{\begin{array}{c}xy=(S^3-A)/3s\\ x+y=S\end{array}$

In cui compaiono solo somma e prodotto per cui si procede nello stesso modo di un sistema elementare.

$3)\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=A\\ xy=P\end{array}$

Sapendo che $x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy$ otteniamo il sistema

$\{\begin{array}{c}xy=P\\ (x+y{)}^2=A+2P\end{array}$

Se $a+2p<0$ non ci sono soluzioni reali.

Se $a+2p\ge 0$ esiste la radice reale. Le soluzioni saranno date dall'unione di due sistemi elementari:

$\{\begin{array}{c}xy=P\\ x+y=\sqrt{A+2P}\end{array}$

e

$\{\begin{array}{c}xy=P\\ x+y=-\sqrt{A+2P}\end{array}$

Bibliografia

• Bertocchi, Corazzon, Matematica vol. 2, Alpha test, ISBN 8848300383.
• Bergamini, Trifone, Barozzi, Manuale di algebra vol. 2 Terza edizione, Zanichelli, ISBN 9788808110534.

Voci correlate

• Formule di Waring
• Edward Waring
• Polinomio simmetrico
• Sistema di equazioni
• Sistema