Simboli 3j

I simboli 3j, noti anche come simboli 3j di Wigner e come simboli 3-jm, sono funzioni aventi dominio contenuto nell'insieme delle sestuple di numeri seminteri ed a valori razionali, definibili come varianti dotate di maggiore simmetria dei coefficienti di Clebsch-Gordan:

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) \equiv \frac{(- 1)^{j_{1} - j_{2} - m_{3}}}{\sqrt{2 j_{3} + 1}} ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} | j_{3} - m_{3} ⟩ .

Questi simboli sono stati introdotti da Eugene Wigner e riguardano i collegamenti tra rappresentazioni del gruppo delle rotazioni.

Regole di selezione

Il simbolo 3j è diverso da 0 se e solo se sono soddisfatte tutte le condizioni che seguono:

\forall i = 1, 2, 3 : | m_{i} | \leq j_{i}

e

j_{i} - m_{i}

sono interi

m_{1} + m_{2} + m_{3} = 0

j_{1} + j_{2} + j_{3}

è intero

| j_{1} - j_{2} | \leq j_{3} \leq j_{1} + j_{2}

.

Relazione inversa

L'espressione dei coefficienti di Clebsch-Gordan nei simboli 3j si ottiene osservando che j₁ - j₂ - m₃ è un numero intero ed effettuando la sostituzione $m_{3} \to - m_{3}$

⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} | j_{3} m_{3} ⟩ = (- 1)^{j_{1} - j_{2} + m_{3}} \sqrt{2 j_{3} + 1} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & - m_{3} \end{matrix}) .

Proprietà di simmetria

Le relazioni di simmetria sono sensibilmente più semplici di quelle dei coefficienti di Clebsch-Gordan. Un simbolo 3j è invariante per ogni permutazione pari delle sue colonne:

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} j_{2} & j_{3} & j_{1} \\ m_{2} & m_{3} & m_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} j_{3} & j_{1} & j_{2} \\ m_{3} & m_{1} & m_{2} \end{matrix}) .

Una permutazione dispari delle colonne comporta invece una moltiplicazione per un fattore di fase uguale a $\pm 1$ :

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} (\begin{matrix} j_{2} & j_{1} & j_{3} \\ m_{2} & m_{1} & m_{3} \end{matrix}) = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} (\begin{matrix} j_{1} & j_{3} & j_{2} \\ m_{1} & m_{3} & m_{2} \end{matrix}) .

Anche il cambiamento di segno dei numeri quantici m comporta la moltiplicazione per un fattore $\pm 1$ :

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ - m_{1} & - m_{2} & - m_{3} \end{matrix}) = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) .

Invariante scalare

La contrazione del prodotto di tre stati rotazionali con un simbolo 3j

\sum_{m_{1} = - j_{1}}^{j_{1}} \sum_{m_{2} = - j_{2}}^{j_{2}} \sum_{m_{3} = - j_{3}}^{j_{3}} | j_{1} m_{1} ⟩ | j_{2} m_{2} ⟩ | j_{3} m_{3} ⟩ (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}),

è invariante per le rotazioni.

Relazioni di ortogonalità

$(2 j + 1) \sum_{m_{1} m_{2}} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j \\ m_{1} & m_{2} & m \end{matrix}) (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j^{'} \\ m_{1} & m_{2} & m^{'} \end{matrix}) = δ_{j j^{'}} δ_{m m^{'}} .$

$\sum_{j m} (2 j + 1) (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j \\ m_{1} & m_{2} & m \end{matrix}) (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j \\ {m_{1}}^{'} & {m_{2}}^{'} & m \end{matrix}) = δ_{m_{1} {m_{1}}^{'}} δ_{m_{2} {m_{2}}^{'}} .$

Espressione di integrali di armoniche sferiche pesate con spin

$\int d \hat{𝐧}_{s_{1}} Y_{j_{1} m_{1}} (\hat{𝐧})_{s_{2}} Y_{j_{2} m_{2}} (\hat{𝐧})_{s_{3}} Y_{j_{3} m_{3}} (\hat{𝐧}) = (- 1)^{m_{1} + s_{1}} \sqrt{\frac{(2 j_{1} + 1) (2 j_{2} + 1) (2 j_{3} + 1)}{4 π}} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ - s_{1} & - s_{2} & - s_{3} \end{matrix})$

Per utilizzare questa uguaglianza occorre verificare le convenzioni sui fattori di fase per le armoniche sferiche.

Bibliografia

L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, volume 8 of Encyclopedia of Mathematics, Addison-Wesley, Reading, 1981.
D. M. Brink and G. R. Satchler, Angular Momentum, 3rd edition, Clarendon, Oxford, 1993.
A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1960.
Leonard C. Maximon (2008): 3j,6j,9j Symbols, Chapter 34 della NIST Digital Library of Mathematical Functions
D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii, Quantum Theory of Angular Momentum, World Scientific Publishing Co., Singapore, 1988.
E. P. Wigner, On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Reducible Groups, unpublished (1940). Reprinted in: L. C. Biedenharn and H. van Dam, Quantum Theory of Angular Momentum, Academic Press, New York (1965).

Voci correlate

Collegamenti esterni

Anthony Stone's Wigner coefficient calculator (effettua calcoli simbolici esatti)
Clebsch-Gordan, 3-j and 6-j Coefficient Web Calculator Template:Webarchive (effettua calcoli numerici)
369j-symbol calculator at the Plasma Laboratory of Weizmann Institute of Science (effettua calcoli numerici)

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