Semispazio di Poincaré

Il semispazio di Poincaré è un modello di geometria iperbolica, descritto dal matematico francese Jules Henri Poincaré. Un altro modello con caratteristiche simili è il disco di Poincaré.

Definizione

Il semispazio di Poincaré è il semispazio $n$ -dimensionale

H^{n} = {(x_{1}, \dots, x_{n}) \in ℝ^{n} | x_{n} > 0}

d s^{2} = \frac{\sum_{i} d x_{i}^{2}}{x_{n}^{2}} .

In altre parole, il tensore metrico nel punto $(x_{1}, \dots, x_{n})$ è

g_{i j} = \frac{1}{x_{n}^{2}} δ_{i j}

dove $δ$ è la delta di Kronecker. Cioè

g = \frac{1}{x_{n}^{2}} I

dove $I$ è la matrice identità $n$ -dimensionale. Si tratta quindi dell'usuale tensore metrico euclideo, riscalato di un fattore positivo

\frac{1}{x_{n}^{2}}

che dipende dal punto, e che tende a infinito se il punto si avvicina all'iperpiano $x_{n} = 0$ .

Il tensore metrico è definito positivo in ogni punto: il semispazio di Poincaré è quindi una varietà riemanniana di dimensione $n$ . Su una varietà riemanniana sono quindi definiti i concetti di distanza, geodetica e angolo. Attraverso una opportuna inversione circolare si può costruire facilmente un isomorfismo tra questo modello e il disco di Poincaré.