Segnale analitico

Un segnale analitico, in matematica e nella teoria dei segnali, è un segnale (in generale una funzione del tempo), ad esempio un segnale elettrico, che non possiede componenti a frequenza negativa. La rappresentazione analitica di una funzione (non correlata con la nozione di funzione analitica) consiste in una funzione complessa di frequenza positiva; ciò facilita spesso il trattamento e le manipolazioni matematiche sul segnale stesso. L'idea di base è che le componenti a frequenze negative dello spettro del segnale, cioè della trasformata di Fourier del segnale, possono essere trascurate a causa della proprietà di simmetria complessa coniugata (simmetria Hermitiana) dello spettro stesso: per un segnale reale la parte reale e il modulo della trasformata sono simmetrici rispetto all'origine (funzione pari), mentre la parte immaginaria e la fase sono antisimmetriche (dispari).

In questo modo trascurando metà dello spettro non vi è perdita di informazione. Tuttavia il segnale ricostruito antitrasformando il segnale analitico non è più un segnale reale, ma è un segnale complesso di variabile complessa, sebbene la conversione alla rispettiva funzione reale consista in pratica nell'eliminazione della sola parte immaginaria. Tale rappresentazione analitica rende certe caratteristiche del segnale più accessibili e facilita la derivazione delle tecniche di modulazione/demodulazione, specialmente a singola banda laterale (single-sideband).

La rappresentazione analitica è una generalizzazione della notazione dei fasori propria dell'elettrotecnica (notazione di Steinmetz): mentre quest'ultima è ristretta a segnali con ampiezza, fase e frequenza tempo-invarianti, la notazione analitica consente di avere parametri tempo-varianti ovvero non costanti.

Definizione

Si consideri un segnale o funzione $x(t)$ a valori reali avente trasformata di Fourier $X(f)$, e sia $u(f)$ è la funzione gradino di Heaviside. Allora la funzione:

$X_{\mathrm{a}}(f)\equiv X(f)\cdot 2\mathrm{u}(f)=\{\begin{array}{cc}2X(f)& \text{per }f>0\\ X(f)& \text{per }f=0\\ 0& \text{per }f<0\end{array}$

contiene solo le componenti in frequenza non negative di $X(f)$. Raddoppiare in ampiezza lo spettro ha l'obiettivo di preservare il contenuto energetico del segnale originario stesso precedentemente esteso anche sul lato negativo (simmetrico) delle frequenze. L'operazione sopra esposta inoltre è reversibile, a causa della proprietà di hermitianità di $X(f)$:

$X(f)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{2}{X}_{\mathrm{a}}(f)f>0\\ \frac{1}{2}{X}_{\mathrm{a}}^{*}(|f|)f<0\end{array}$

Il segnale analitico nel dominio del tempo $x_{\mathrm{a}}(t)$ si ottiene antitrasformando il segnale $X_{\mathrm{a}}(f)$, per evidenziare ciò che si ottiene da tale antitrasformazione si riscriva la definizione di $X_{\mathrm{a}}(f)$nel seguente modo:

$X_{\mathrm{a}}(f)=X(f)[1+sign(f)]$

dove $sign(f)=\{\begin{array}{c}1f>0\\ \\ 0f=0\\ \\ -1f<0\end{array}$

$⟶X_{\mathrm{a}}(f)=X(f)+X(f)sign(f)$

$\begin{array}{c}⟶{ℱ}^{-1}\{X_{\mathrm{a}}(f)\}={ℱ}^{-1}\{X_{}(f)\}+{ℱ}^{-1}\{X_{}(f)sign(f)\}\end{array}$

$\begin{array}{c}⟶{ℱ}^{-1}\{X_{\mathrm{a}}(f)\}={ℱ}^{-1}\{X_{}(f)\}+{ℱ}^{-1}\{X_{}(f)\}*{ℱ}^{-1}\{sign(f)\}\end{array}$

Per effettuare ora l'antitrasformata del termine ${ℱ}^{-1}\{sign(f)\}$ si procede calcolando la trasformata di Fourier del segnale $sign(t)$e si applica poi la proprietà di dualità:

$ℱ\{sign(t)\}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}sign(t)e^{-2\pi ift}dt={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}sign(t)e^{-2\pi ift}dt+{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}sign(t)e^{-2\pi ift}dt$

${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}sign(t)e^{-2\pi ift}dt=\frac{1}{-2\pi if}[\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }(e^{-2\pi ift})-1]=\frac{1}{2\pi if}$

$-{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}sign(t)e^{-2\pi ift}dt={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}sign(t)e^{-2\pi ift}dt=\frac{1}{2\pi if}$

$⟶ℱ\{sign(t)\}=\frac{1}{2\pi if}+\frac{1}{2\pi if}=\frac{1}{\pi if}$

Quindi ricordando la proprietà di dualità della trasformata di Fourier si ha:

${ℱ}^{-1}\{sign(f)\}=\frac{1}{\pi i(-t)}=\frac{i}{\pi t}$

quindi la quantità:

$\begin{array}{c}{ℱ}^{-1}\{X_{\mathrm{a}}(f)\}={ℱ}^{-1}\{X_{}(f)\}+{ℱ}^{-1}\{X_{}(f)\}*{ℱ}^{-1}\{sign(f)\}\end{array}$

vale

$x_{\mathrm{a}}(t)=x(t)+x(t)*\frac{i}{\pi t}$

$⟶x_{\mathrm{a}}(t)=x(t)+i[x(t)*\frac{1}{\pi t}]$

la quantità tra parentesi quadre al secondo membro rappresenta la trasformata di Hilbert del segnale $x(t)$pertanto l'espressione di $x_{\mathrm{a}}(t)$ si può esprimere anche come:

$x_{\mathrm{a}}(t)=x_{}(t)+i\mathscr{H}\{x(t)\}$

dove $\mathscr{H}\{x(t)\}$ è la trasformata di Hilbert di $x(t)$ e $i$ è l'unità immaginaria.

Esempi

• Dato $x(t)=\cos ({\omega }_{0}t)$, per un parametro reale generico ${\omega }_0>0$, la trasformata è:

$\mathscr{H}\{x(t)\}=\cos ({\omega }_{0}t-\begin{array}{c}\frac{\pi }{2}\end{array})=\sin ({\omega }_{0}t)$

e l'antitrasformata della trasformata privata di parte negativa è la rappresentazione analitica:

$x_{\mathrm{a}}(t)=\cos ({\omega }_{0}t)+i\cdot \sin ({\omega }_{0}t)=e^{i{\omega }_{0}t}$

Si tratta di un segnale a valori complessi con fase crescente (frequenza positiva). Quanto detto segue anche dalla formula di Eulero che:

$\cos ({\omega }_{0}t)=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}(e^{i{\omega }_{0}t}+e^{-i{\omega }_{0}t})$

Quando si tratta con semplici sinusoidi o somma di sinusoidi si può dedurre $x_{\mathrm{a}}(t)$ direttamente, senza determinare prima $\mathscr{H}\{x(t)\}$.

• Dato:

$x(t)=\cos (\omega t+\theta )=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}(e^{i(\omega t+\theta )}+e^{-i(\omega t+\theta )})$

Si ha la rappresentazione analitica:

$x_{\mathrm{a}}(t)=\{\begin{array}{c}{e}^{i|\omega |t}\cdot e^{i\theta }\omega >0\\ e^{i|\omega |t}\cdot e^{-i\theta }\omega <0\end{array}$

• Sia $x(t)=e^{-i{\omega }_{0}t}$, per un parametro reale generico ${\omega }_0>0$. Si ha:

$\mathscr{H}\{x(t)\}=i\cdot e^{-i{\omega }_{0}t}{x}_{\mathrm{a}}(t)=e^{-i{\omega }_{0}t}+i^2\cdot e^{-i{\omega }_{0}t}=0$

Parte negativa dello spettro

I segnali analitici sono spesso traslati in frequenza (conversione in discesa) verso la frequenza nulla (asse delle frequenze), cosa che crea componenti in frequenza negative non simmetriche. Una ragione di ciò è quella di consentire ai filtri passa-basso con coefficienti reali di essere usati per limitare l'ampiezza di banda del segnale. Un'altra ragione è ridurre le alte frequenze che a loro volta riducono la frequenza minima per il campionamento anti-aliasing. Una traslazione in frequenza non mina la trattabilità matematica della rappresentazione tramite segnale complesso. Così, in questo senso, il segnale convertito è ancora analitico. Ad ogni modo ripristinare la rappresentazione a valori reali del segnale non diventa più una semplice questione di estrazione del valore reale. La conversione verso l'alto è indubbiamente richiesta e se il segnale è stato campionato, l'interpolazione potrebbe anche essere necessaria per evitare l'aliasing.

Il complesso coniugato di un segnale analitico contiene solo componenti a frequenza negativa. In questo caso non c'è perdita di informazione e reversibilità scartando la parte immaginaria. Indubbiamente la componente reale del complesso coniugato è la stessa della componente reale del segnale analitico. Ma in questo caso la sua estrazione ripristina invece le componenti soppresse a frequenza positiva.

Un altro modo per ottenere uno spettro di frequenze negative è traslare in frequenza il segnale analitico sufficientemente nella direzione negativa. L'estrazione della componente reale ripristina ancora le frequenze positive. Ma in questo caso il loro ordine è rovesciato: le frequenze basse sono ora le frequenze alte. Questo può essere usato per demodulare un tipo di segnale a singola banda laterale chiamato segnale inferiore o a banda laterale invertita.

Applicazioni

Il segnale analitico può essere espresso in termini di coordinate polari complesse $x_{\mathrm{a}}(t)=A(t)e^{j\varphi (t)}$, dove:

$A(t)=|x_{\mathrm{a}}(t)|=\sqrt{x^2(t)+{\hat{x}}^2(t)}\varphi (t)=\arg \{x_{\mathrm{a}}(t)\}$

Un segnale $x(t)$ (in blu) e l'ampiezza $A(t)$ (in rosso) del rispettivo segnale analitico.

sono rispettivamente l'ampiezza e fase (istantanea) del segnale $x(t)$. La derivata rispetto al tempo della fase è la pulsazione:

$\omega (t)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\varphi }^{\prime }(t)=\frac{d}{dt}\varphi (t)$

Tali grandezze sono usate per misurare e rilevare caratteristiche locali del segnale; un'altra applicazione della rappresentazione analitica di un segnale coinvolge la demodulazione di un segnale modulato, in quanto le coordinate polari separano convenientemente gli effetti della modulazione di ampiezza e fase (o frequenza).

Il segnale analitico può essere rappresentato come:

$x_{\mathrm{a}}(t)$	$=[A(t)e^{j\varphi (t)}{e}^{-j{\omega }_{0}t}]e^{j{\omega }_{0}t}$
	$=\gamma (t)\cdot e^{j{\omega }_{0}t}$

dove:

$\gamma (t)=A(t)\cdot e^{j(\varphi (t)-{\omega }_{0}t)}$

è l'inviluppo complesso, detto anche equivalente passa-basso, poiché si tratta del segnale analitico traslato nell'origine, ovvero in banda base. L'inviluppo complesso non è unico; al contrario è determinato da un arbitrario assegnamento di ${\omega }_0$, e questo concetto è spesso usato quando si tratta con segnali passabanda. Se $x(t)$ è il segnale modulato, ${\omega }_0$ è usualmente assegnato per essere una frequenza portante; in altri casi è selezionato per essere nel mezzo della banda di frequenze, oppure è scelto per minimizzare:

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(\omega -{\omega }_0{)}^2|X_{\mathrm{a}}(\omega ){|}^{2}d\omega$

Alternativamente, ${\omega }_0$ può essere assegnato per minimizzare l'errore quadratico medio approssimando linearmente la fase istantanea $\varphi (t)$:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(\omega (t)-{\omega }_0{)}^2|x_{\mathrm{a}}(t){|}^{2}dt$

o ancora alternativamente (per qualche $\theta$):

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{(\varphi (t)-({\omega }_{0}t+\theta ))}^{2}dt$

Bibliografia

• Template:En Bracewell, R; The Fourier Transform and Its Applications, 2nd ed, 1986, McGraw-Hill.
• Template:En Leon Cohen, Time-frequency analysis, Prentice-Hall (1995)
• Template:En Frederick W. King, Hilbert Transforms, Vol. 2, Cambridge University Press (2009).
• Template:En B. Boashash, "Estimating and Interpreting the Instantaneous Frequency of a Signal-Part I: Fundamentals", Proceedings of the IEEE, Vol. 80, No. 4, pp. 519–538, April 1992

Voci correlate

• Metodo simbolico
• Rappresentazione spettrale dei segnali
• Teoria dei segnali
• Trasformata di Fourier

Collegamenti esterni

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