Fasore

In elettrotecnica un fasore è un numero complesso che rappresenta un'onda sinusoidale di una specifica frequenza. Essendo un numero complesso è rappresentabile nel piano complesso come un vettore sfasato rispetto all'asse reale di un certo angolo o fase, da qui l'origine del termine fasore, parola macedonia composta da fase e vettore. I fasori sono utilizzati dal metodo simbolico quale comoda rappresentazione in campo complesso di grandezze fisiche reali oscillanti come, in particolare, le grandezze elettriche, tensione o corrente.

Definizione

Rappresentazione del vettore rotante

Un'onda sinusoidale $v(t)$ è caratterizzata da un'ampiezza $V_{\max }$, una frequenza $f$ e una fase iniziale ${\varphi }_0$. Alla frequenza, grandezza pari all'inverso del periodo $T$ dell'onda, è possibile associare una pulsazione $\omega =2\pi f$ tale per cui l'equazione dell'onda allora risulta:

$v(t)=V_{\max }\cos (\omega t+{\varphi }_0)$

Nell'analisi dei circuiti elettrici in corrente alternata è necessario effettuare diverse operazioni algebriche tra sinusoidi, allora per semplificare i calcoli è possibile associare univocamente a ogni onda sinusoidale un numero complesso detto fasore. Si definisce allora un numero complesso tale che la sua parte reale sia pari alla funzione $v(t)$, e che abbia parte immaginaria tale da poter impiegare direttamente la formula di Eulero, essendo la parte reale una funzione coseno. Si determina allora il numero complesso:

$V_{\max }\cos (\omega t+{\varphi }_0)+j{V}_{\max }\sin (\omega t+{\varphi }_0)$

In elettrotecnica l'unità immaginaria è indicata con la lettera $j$ al fine di evitare confusione con l'intensità di corrente, generalmente indicata con la lettera $i$. In un sistema di coordinate polari, tramite la formula di Eulero, il numero complesso appena ottenuto è riscrivibile come:

$V_{\max }{e}^{j(\omega t+{\varphi }_0)}=V_{\max }{e}^{j{\varphi }_0}{e}^{j\omega t}$

Sul piano complesso è possibile rappresentare $V_{\max }{e}^{j{\varphi }_0}=V_{\max }(\cos {\varphi }_0+j\sin {\varphi }_0)$ come un vettore di modulo $V_{\max }$ sfasato rispetto all'asse reale di angolo ${\varphi }_0$. Siccome però il numero ottenuto è $V_{\max }{e}^{j(\omega t+{\varphi }_0)}$ si ha che lo sfasamento con l'asse reale varia di un fattore $\omega t$, si ha così nel piano complesso un vettore di che ruota in senso antiorario a velocità angolare $\omega$. Date queste proprietà il numero ottenuto è definito vettore rotante. Se le operazioni algebriche sono da effettuare su circuiti lineari caratterizzati da tensioni e correnti alternate di uguale frequenza allora è conveniente definire il fasore $\overline{V}$ come un vettore sul piano complesso di modulo pari al valore efficace $V$ della sinusoide (grandezza tale che $V_{\max }=\sqrt{2}V$) e fase ${\varphi }_0$.

$\overline{V}=V{e}^{j{\varphi }_0}$

La corrispondenza tra sinusoide e fasore allora è:

$v(t)=\sqrt{2}\mathrm{R}\mathrm{e}(\overline{V}{e}^{j\omega t})$

In modo del tutto equivalente, definito il fasore complesso coniugato ${\overline{V}}^{*}=V{e}^{-j{\varphi }_0}$si ha che:

$v(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\overline{V}{e}^{j\omega t}+{\overline{V}}^{*}{e}^{-j\omega t})$

Proprietà

Somma e differenza

Definito il fasore ${\overline{V}}_1=V_1{e}^{j{\varphi }_1}=V_1\cos {\varphi }_1+j{V}_1\sin {\varphi }_1$ e in modo analogo ${\overline{V}}_2$ allora la somma tra i due è:

${\overline{V}}_1+{\overline{V}}_2=V_1\cos {\varphi }_1+V_2\cos {\varphi }_2+j(V_1\sin {\varphi }_1+V_2\sin {\varphi }_2)$

Per estensione la sommatoria di $n$ fasori è:

$\sum _{k=1}^n{\overline{V}}_k=\sum _{k=1}^n{V}_k\cos {\varphi }_k+j\sum _{k=1}^n{V}_k\sin {\varphi }_k$

La differenza è realizzabile come la somma di fasori opposti:

${\overline{V}}_1-{\overline{V}}_2={\overline{V}}_1+(-{\overline{V}}_2)$

Prodotto e rapporto

Definiti i fasori ${\overline{V}}_1$ e ${\overline{V}}_2$ allora il loro prodotto è:

${\overline{V}}_1\cdot {\overline{V}}_2=V_1{V}_2{e}^{j({\varphi }_1+{\varphi }_2)}=V_1{V}_2(\cos ({\varphi }_1+{\varphi }_2)+j\sin ({\varphi }_1+{\varphi }_2))$

Per estensione la produttoria di $n$ fasori è:

$\prod _{k=1}^n{\overline{V}}_k=\prod _{k=1}^n{V}_k{e}^{j\sum _{k=1}^n{\varphi }_k}$

Considerati i fasori ${\overline{V}}_1$ e ${\overline{V}}_2$ allora il loro rapporto è:

$\frac{{\overline{V}}_1}{{\overline{V}}_2}=\frac{V_1}{V_2}{e}^{j({\varphi }_1-{\varphi }_2)}$

Considerato il numero complesso coniugato ${\overline{V}}_2^{*}=V_2{e}^{-j{\varphi }_0}$ allora il prodotto coniugato è:

${\overline{V}}_1\cdot {\overline{V}}_2^{*}=V_1{V}_2{e}^{j({\varphi }_1-{\varphi }_2)}$

In particolare se ${\overline{V}}_1={\overline{V}}_2=\overline{V}$ allora:

$\overline{V}\cdot {\overline{V}}^{*}=V^2$

Derivata e integrale

Considerato il fasore $\overline{V}=V{e}^{j{\varphi }_0}$ e il suo vettore rotante associato $\sqrt{2}\overline{V}{e}^{j\omega t}$ allora simbolicamente si indica la derivata del fasore come il fasore della derivata del vettore rotante:

$\frac{d}{dt}\sqrt{2}\overline{V}{e}^{j\omega t}=\sqrt{2}\overline{V}j\omega e^{j\omega t}\to \frac{d\overline{V}}{dt}=j\omega \overline{V}$

Siccome $j\omega \overline{V}=\omega V{e}^{j({\varphi }_0+\frac{\pi }{2})}$ allora la derivazione moltiplica il modulo di un fattore $\omega$ e introduce uno sfasamento in ritardo di $\frac{\pi }{2}$.

Analogamente per l'integrale:

$\int \sqrt{2}\overline{V}{e}^{j\omega t}dt=\sqrt{2}\frac{\overline{V}}{j\omega }{e}^{j\omega t}\to \int \overline{V}dt=\frac{\overline{V}}{j\omega }$

Siccome $\frac{\overline{V}}{j\omega }=\frac{V}{\omega }{e}^{j({\varphi }_0-\frac{\pi }{2})}$ allora l'integrazione moltiplica il modulo di un fattore $\frac{1}{\omega }$ e introduce uno sfasamento in anticipo di $-\frac{\pi }{2}$.

Leggi costitutive dei bipoli

Resistore

Considerato un resistore di resistenza $R$ su cui è applicata una corrente alternata $i(t)$ allora per la legge di Ohm la tensione $v(t)$ sul resistore è:

$v(t)=Ri(t)$

Associati i rispettivi vettori rotanti allora la relazione diventa:

$\sqrt{2}V{e}^{j(\omega t+{\varphi }_v)}=R\sqrt{2}I{e}^{j(\omega t+{\varphi }_i)}$

In particolare si nota che il valore efficace della tensione è $V=RI$ mentre la fase è ${\varphi }_v={\varphi }_i$. In termini di fasori allora:

$\overline{V}=R\overline{I}$

Induttore

La relazione costitutiva dell'induttore è:

$v(t)=L\frac{di(t)}{dt}$

Associati i rispettivi vettori rotanti allora la relazione diventa:

$\sqrt{2}V{e}^{j(\omega t+{\varphi }_v)}=L\frac{d}{dt}\sqrt{2}I{e}^{j(\omega t+{\varphi }_i)}=\sqrt{2}j\omega LI{e}^{j(\omega t+{\varphi }_i)}=\sqrt{2}\omega LI{e}^{j(\omega t+{\varphi }_i+\frac{\pi }{2})}$

In particolare si nota che il valore efficace della tensione è $V=\omega LI$ mentre la fase è ${\varphi }_v={\varphi }_i+\frac{\pi }{2}$, si ha quindi che la corrente è in ritardo rispetto alla tensione. In termini di fasori allora:

$\overline{V}=j\omega L\overline{I}$

Condensatore

La relazione costitutiva del condensatore è:

$i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}$

Associati i rispettivi vettori rotanti allora la relazione diventa:

$\sqrt{2}I{e}^{j(\omega t+{\varphi }_i)}=C\frac{d}{dt}\sqrt{2}V{e}^{j(\omega t+{\varphi }_v)}=\sqrt{2}j\omega CV{e}^{j(\omega t+{\varphi }_v)}=\sqrt{2}\omega CV{e}^{j(\omega t+{\varphi }_v+\frac{\pi }{2})}$

In particolare si nota che il valore efficace della corrente è $I=\omega CV$ mentre la fase è ${\varphi }_i={\varphi }_v+\frac{\pi }{2}$, si ha quindi che la corrente è in anticipo rispetto alla tensione. In termini di fasori allora:

$\overline{I}=j\omega C\overline{V}$

Bibliografia

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Voci correlate

• Metodo simbolico
• Corrente alternata