Scomposizione di Gordon

In fisica matematica, la scomposizione di Gordon (dal nome di Walter Gordon) della corrente di Dirac è una scissione della corrente di carica o numero di particelle in una parte che deriva dal moto del centro di massa delle particelle e una parte che deriva dai gradienti della densità di spin. Fa un uso esplicito dell'equazione di Dirac e quindi si applica solo alle soluzioni "on-shell" dell'equazione di Dirac.

Tecnica originale

Enunciato

Per qualsiasi soluzione $\psi$ dell'equazione di Dirac massiva,

$(i{\gamma }^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }-m)\psi =0,$

la corrente Lorentz-covariante $j^{\mu }=\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi$ può essere espressa come

$\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi =\frac{i}{2m}(\overline{\psi }{\mathrm{\nabla }}^{\mu }\psi -({\mathrm{\nabla }}^{\mu }\overline{\psi })\psi )+\frac{1}{m}{\partial }_{\nu }(\overline{\psi }{\mathrm{\Sigma }}^{\mu \nu }\psi ),$

dove

${\mathrm{\Sigma }}^{\mu \nu }=\frac{i}{4}[{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }]$

è il generatore spinoriale delle trasformazioni di Lorentz.

La corrispondente versione nello spazio degli impulsi per soluzioni di onde piane $u(p)$ e $\overline{u}(p^{\prime })$ che obbedisce

$({\gamma }^{\mu }{p}_{\mu }-m)u(p)=0$

$\overline{u}(p^{\prime })({\gamma }^{\mu }p{\text{'}}_{\mu }-m)=0,$

è

$\overline{u}(p^{\prime }){\gamma }^{\mu }u(p)=\overline{u}(p^{\prime })[\frac{(p+p^{\prime }{)}^{\mu }}{2m}+i{\sigma }^{\mu \nu }\frac{(p^{\prime }-p{)}_{\nu }}{2m}]u(p),$

dove

${\sigma }^{\mu \nu }=2{\mathrm{\Sigma }}^{\mu \nu }.$

Dimostrazione

Dall'equazione di Dirac segue che

$\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }(m\psi )=\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }(i{\gamma }^{\nu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }\psi )$

e, dal coniugato dell'equazione di Dirac,

$(\overline{\psi }m){\gamma }^{\mu }\psi =(({\mathrm{\nabla }}_{\nu }\overline{\psi })(-i{\gamma }^{\nu })){\gamma }^{\mu }\psi .$

Sommando queste due equazioni si ottiene

$\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi =\frac{i}{2m}(\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }\psi -({\mathrm{\nabla }}_{\nu }\overline{\psi }){\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }\psi ).$

Dall'algebra di Dirac, si può dimostrare che le matrici di Dirac soddisfano

${\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }={\eta }^{\mu \nu }-i{\sigma }^{\mu \nu }={\eta }^{\nu \mu }+i{\sigma }^{\nu \mu }.$

Usando questa relazione,

$\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi =\frac{i}{2m}(\overline{\psi }({\eta }^{\mu \nu }-i{\sigma }^{\mu \nu }){\mathrm{\nabla }}_{\nu }\psi -({\mathrm{\nabla }}_{\nu }\overline{\psi })({\eta }^{\mu \nu }+i{\sigma }^{\mu \nu })\psi ),$

che equivale proprio alla decomposizione di Gordon, dopo un po' di calcoli.

Utilità

La seconda parte della, dipendente dallo spin, parte della corrente accoppiata al campo di fotoni, $-A_{\mu }{j}^{\mu }$ cede, a meno di una divergenza totale trascurabile,

$-\frac{e\hslash }{2mc}{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }\overline{\psi }{\sigma }^{\nu \mu }\psi =-\frac{e\hslash }{2mc}\frac{1}{2}{F}_{\mu \nu }\overline{\psi }{\sigma }^{\mu \nu }\psi ,$

cioè, un termine efficace di momento di Pauli, $-(e\hslash /2mc)\overrightarrow{B}\cdot {\psi }^{†}\overrightarrow{\sigma }\psi$ .

Generalizzazione alle particelle senza massa

Questa scomposizione della corrente in un flusso di numero di particelle (primo termine) e contributo di spin legato (secondo termine) richiede $m\ne 0$ .

Se si assume che la soluzione data abbia energia $E=\sqrt{|𝐤{|}^2+m^2}$ così che $\psi (𝐫,t)=\psi (𝐫)\exp \{-iEt\}$, si potrebbe ottenere una scomposizione valida sia per i casi massivi che per quelli senza massa.

Usando ancora l'equazione di Dirac, si trova che

$𝐣\equiv e\overline{\psi }\mathit{\gamma }\psi =\frac{e}{2iE}({\psi }^{†}\mathrm{\nabla }\psi -(\mathrm{\nabla }{\psi }^{†})\psi )+\frac{e}{E}(\mathrm{\nabla }\times 𝐒).$

dove $\mathit{\gamma }=({\gamma }^1,{\gamma }^2,{\gamma }^3)$, e $𝐒={\psi }^{†}\widehat{𝐒}\psi$ con $({\hat{S}}_x,{\hat{S}}_y,{\hat{S}}_z)=({\mathrm{\Sigma }}^{23},{\mathrm{\Sigma }}^{31},{\mathrm{\Sigma }}^{12}),$ così che

$\widehat{𝐒}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}\mathit{\sigma }& 0\\ 0& \mathit{\sigma }\end{array}\right],$

dove $\mathit{\sigma }=({\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z)$ è il vettore delle matrici di Pauli.

Con la densità del numero di particelle identificata con $\rho ={\psi }^{†}\psi$, e per una soluzione in onda quasi piana di estensione finita, si può interpretare il primo termine nella scomposizione come l'attuale ${𝐣}_{\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}}=e\rho 𝐤/E=e\rho 𝐯$, a causa delle particelle che si muovono a velocità $𝐯=𝐤/E$ .

Il secondo termine, ${𝐣}_{\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}}=(e/E)\mathrm{\nabla }\times 𝐒$ è la corrente dovuta ai gradienti nella densità di momento magnetico intrinseca. Il momento magnetico stesso si trova integrando per parti per mostrare che

$\mathit{\mu }=\frac{1}{2}\int 𝐫\times {𝐣}_{\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}}{d}^{3}x=\frac{1}{2}\int 𝐫\times (\frac{e}{E}\mathrm{\nabla }\times 𝐒)d^{3}x=\frac{e}{E}\int 𝐒d^{3}x.$

Per una singola particella massiccia nel suo sistema di riferimento di riposo, dove $E=m$, il momento magnetico si riduce a

${\mathit{\mu }}_{\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}}=\left(\frac{e}{m}\right)𝐒=\left(\frac{eg}{2m}\right)𝐒.$

dove $|𝐒|=\hslash /2$ e $g=2$ è il valore di Dirac del rapporto giromagnetico.

Per una singola particella priva di massa che obbedisce all'equazione di Weyl destrorsa, lo spin-1/2 è fissato nella direzione $\widehat{𝐤}$ del suo momento cinetico e il momento magnetico diventa

${\mathit{\mu }}_{\mathrm{W}\mathrm{e}\mathrm{y}\mathrm{l}}=\left(\frac{e}{E}\right)\frac{\hslash \widehat{𝐤}}{2}.$

Densità di momento angolare

Sia per il caso massivo sia per quello senza massa, si ha anche un'espressione per la densità di momento come parte del tensore simmetrico di Belinfante-Rosenfeld stress-energia

$T_{\mathrm{B}\mathrm{R}}^{\mu \nu }=\frac{i}{4}(\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }{\mathrm{\nabla }}^{\nu }\psi -({\mathrm{\nabla }}^{\nu }\overline{\psi }){\gamma }^{\mu }\psi +\overline{\psi }{\gamma }^{\nu }{\mathrm{\nabla }}^{\mu }\psi -({\mathrm{\nabla }}^{\mu }\overline{\psi }){\gamma }^{\nu }\psi ).$

Usando l'equazione di Dirac si può valutare $T_{\mathrm{B}\mathrm{R}}^{0\mu }=(ℰ,𝐏)$ per trovare la densità di energia per essere $ℰ=E{\psi }^{†}\psi$, e la densità di quantità di moto,

$𝐏=\frac{1}{2i}({\psi }^{†}(\mathrm{\nabla }\psi )-(\mathrm{\nabla }{\psi }^{†})\psi )+\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }\times 𝐒.$

Se si usa il tensore canonico energia-impulso non simmetrico

$T_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{o}}^{\mu \nu }=\frac{i}{2}(\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }{\mathrm{\nabla }}^{\nu }\psi -({\mathrm{\nabla }}^{\nu }\overline{\psi }){\gamma }^{\mu }\psi ),$

non si troverebbe il contributo spin-momento legato.

Mediante un'integrazione per parti si trova che il contributo di spin al momento angolare totale è

$\int 𝐫\times (\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }\times 𝐒)d^{3}x=\int 𝐒d^{3}x.$

Questo è ciò che ci si aspetta, quindi è necessaria la divisione per 2 nel contributo di spin alla densità di momento. L'assenza di una divisione per 2 nella formula per la corrente riflette il $g=2$ rapporto giromagnetico dell'elettrone. In altre parole, un gradiente di densità di spin è due volte più efficace nel creare una corrente elettrica quanto nel contribuire alla quantità di moto lineare.

Spin nelle equazioni di Maxwell

Motivato dalla forma vettoriale di Riemann-Silberstein delle equazioni di Maxwell, il fisico Michael Berry usa la strategia di Gordon per ottenere espressioni gauge-invarianti per la densità di momento angolare di spin intrinseco per le soluzioni delle equazioni di Maxwell.

Assume che le soluzioni siano monocromatiche e usa le espressioni del fasore $𝐄=𝐄(𝐫)e^{-i\omega t}$, $𝐇=𝐇(𝐫)e^{-i\omega t}$ . La media temporale della densità di moto del vettore di Poynting è quindi data da

$\begin{array}{cc}⟨𝐏⟩& =\frac{1}{4c^2}[{𝐄}^{*}\times 𝐇+𝐄\times {𝐇}^{*}]\\ & =\frac{{ϵ}_0}{4i\omega }[{𝐄}^{*}\cdot (\mathrm{\nabla }𝐄)-(\mathrm{\nabla }{𝐄}^{*})\cdot 𝐄+\mathrm{\nabla }\times ({𝐄}^{*}\times 𝐄)]\\ & =\frac{{\mu }_0}{4i\omega }[{𝐇}^{*}\cdot (\mathrm{\nabla }𝐇)-(\mathrm{\nabla }{𝐇}^{*})\cdot 𝐇+\mathrm{\nabla }\times ({𝐇}^{*}\times 𝐇)].\\ \end{array}$

dove nel passaggio dalla prima alla seconda e terza riga si sono usate le equazioni di Maxwell, e in espressioni come ${𝐇}^{*}\cdot (\mathrm{\nabla }𝐇)$ il prodotto scalare è tra i campi in modo che il carattere vettoriale sia determinato da $\mathrm{\nabla }$.

Siccome

${𝐏}_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}={𝐏}_{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}}+{𝐏}_{\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}},$

e per un fluido con densità di momento angolare intrinseca $𝐒$ noi abbiamo

${𝐏}_{\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}}=\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }\times 𝐒,$

queste identità suggeriscono che la densità di spin può essere identificata come

$𝐒=\frac{{\mu }_0}{2i\omega }{𝐇}^{*}\times 𝐇$

o come

$𝐒=\frac{{ϵ}_0}{2i\omega }{𝐄}^{*}\times 𝐄.$

Le due decomposizioni coincidono quando il campo è parassiale. Essi coincidono anche quando il campo è uno stato di elicità puro, cioè quando $𝐄=i\sigma c𝐁$ dove l'elicità $\sigma$ prende i valori $\pm 1$ per la luce che è rispettivamente polarizzata circolarmente verso destra o verso sinistra. In altri casi possono differire.