Riferimento proiettivo

Template:F In matematica, e più precisamente in geometria proiettiva, un riferimento proiettivo è una struttura, simile a quella di base per gli spazi vettoriali, che permette di assegnare ad ogni punto di uno spazio proiettivo delle coordinate omogenee.

Definizione

Sia $\mathbb{P}(V)$ uno spazio proiettivo di dimensione $n$ (cioè $V$ ha dimensione $n+1$). Un riferimento proiettivo è una collezione di $n+2$ punti in $\mathbb{P}(V)$

$P_0,P_1,\dots ,P_{n+1}$

tali che nessun sottoinsieme di $n+1$ di questi punti è contenuto in un iperpiano.

Proprietà

Dal riferimento alla base

Un riferimento proiettivo identifica una base dello spazio vettoriale $V$ in modo unico, a meno di un fattore moltiplicativo $\lambda$ (non nullo applicato a tutti i vettori della base). Tramite la base, è quindi possibile scrivere ogni vettore di $V$ in coordinate, e quindi ogni vettore di $\mathbb{P}(V)$ in coordinate omogenee.

Più precisamente, indicando con $p$ la proiezione

$p:V\to \mathbb{P}(V),$

vale il fatto seguente:

Esiste una base $v_0,\dots ,v_n$ di $V$ tale che

$p(v_0)=P_0,\dots ,p(v_n)=P_n,p(v_0+\dots +v_n)=P_{n+1}.$

Ogni altra base con questa proprietà è del tipo $\lambda v_0,\dots ,\lambda v_n$, per qualche $\lambda$ in $K$.

Per il loro ruolo, i punti $P_0,\dots ,P_n$ sono detti punti fondamentali e $P_{n+1}$ è il punto unità.

I punti fondamentali non sono sufficienti a determinare una base a meno di un solo fattore $\lambda$ globale: per questo scopo è necessario considerare anche il punto unità.

Dalla base alle coordinate omogenee

Tramite la base $v_0,\dots v_n$, ogni vettore $v$ di $V$ è descrivibile tramite le sue coordinate, determinate dalla relazione

$v=a_0{v}_0+\dots a_n{v}_n.$

Le coordinate di $v$ sono quindi $(a_0,\dots ,a_n)$. È quindi possibile assegnare alla sua proiezione $p(v)$ le coordinate omogenee

$[a_0,\dots ,a_n].$

Il fattore di arbitrarietà $\lambda$ nella scelta della base non influisce nel risultato: infatti la base $\lambda v_1,\dots ,\lambda v_n$ fornisce le coordinate

$[\frac{a_0}{\lambda },\dots ,\frac{a_n}{\lambda }]$

equivalenti alle precedenti, poiché omogenee.

Le coordinate omogenee dei punti $P_0,\dots ,P_{n+1}$ risultano essere quindi rispettivamente

$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right],\dots ,\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right]$

Esempi

Retta proiettiva

In una retta proiettiva, un sistema proiettivo necessita di tre punti distinti $P_0,P_1$ e $P_2$, le cui coordinate saranno quindi rispettivamente $[1,0],[0,1]$ e $[1,1]$.

Piano proiettivo

In un piano proiettivo, un sistema proiettivo necessita di quattro punti $P_0,P_1,P_2$ e $P_3$. Per ipotesi, tre di questi quattro punti non devono mai giacere su una stessa retta, cioè non devono essere allineati. Le loro coordinate saranno rispettivamente $[1,0,0]$, $[0,1,0]$, $[0,0,1]$ e $[1,1,1]$.

Voci correlate

• Spazio proiettivo
• Coordinate omogenee