Reticolo reciproco

In geometria e in cristallografia il reticolo reciproco del reticolo di Bravais è un insieme di vettori $𝐤$ che generano un reticolo di Bravais nello spazio dei momenti. L'onda piana il cui vettore d'onda sia $𝐤$ ha la stessa periodicità del reticolo di partenza.

Definizione

Consideriamo un set di punti $𝐑$ che costituiscono un reticolo di Bravais ed un'onda piana definita da $e^{i𝐤\cdot 𝐫}$. Tale onda piana per alcuni valori di $𝐤$ ha la periodicità del reticolo di Bravais. L'insieme dei vettori d'onda $𝐊$ che descrive onde piane con la periodicità di un dato reticolo di Bravais si chiama reticolo reciproco. Tale condizione da un punto di vista algebrico corrisponde a scrivere:

$e^{i𝐊\cdot (𝐫+𝐑)}=e^{i𝐊\cdot 𝐫}$

Dovendo tale relazione valere per qualsiasi $𝐫$ segue che l'insieme dei vettori del reticolo reciproco soddisfa la relazione:

$e^{i𝐊\cdot 𝐑}=1$

per tutti i punti R del reticolo di Bravais.

Ad ogni reticolo di Bravais possiamo associare un reticolo reciproco in maniera univoca. Il reticolo di Bravais che determina un certo reticolo reciproco è spesso chiamato reticolo diretto, quando considerato assieme al suo reciproco. Il reticolo reciproco è anche un reticolo di Bravais nello spazio dei vettori d'onda. Il reticolo reciproco del reticolo reciproco è il reticolo di Bravais originale.

Essendo il reticolo reciproco un reticolo di Bravais, possiamo scrivere da un punto di vista algebrico che:

$𝐊=m_1{𝐛}_1+m_2{𝐛}_2+m_3{𝐛}_3$

dove $m_i$ sono numeri interi e ${𝐛}_i$ sono i vettori primitivi del reticolo reciproco. I vettori del reticolo reciproco hanno la dimensione di una ${\text{lunghezza}}^{-1}$.

Per un reticolo infinito tridimensionale definito dai suoi vettori primitivi $({𝐚}_{\mathrm{𝟏}},{𝐚}_{\mathrm{𝟐}},{𝐚}_{\mathrm{𝟑}})$, (che non sono univoci) esiste un algoritmo semplice che permette di ricavare i vettori primitivi dello spazio reciproco:

${𝐛}_{\mathrm{𝟏}}=2\pi \frac{{𝐚}_{\mathrm{𝟐}}\times {𝐚}_{\mathrm{𝟑}}}{{𝐚}_{\mathrm{𝟏}}\cdot ({𝐚}_{\mathrm{𝟐}}\times {𝐚}_{\mathrm{𝟑}})}$

${𝐛}_{\mathrm{𝟐}}=2\pi \frac{{𝐚}_{\mathrm{𝟑}}\times {𝐚}_{\mathrm{𝟏}}}{{𝐚}_{\mathrm{𝟏}}\cdot ({𝐚}_{\mathrm{𝟐}}\times {𝐚}_{\mathrm{𝟑}})}$

${𝐛}_{\mathrm{𝟑}}=2\pi \frac{{𝐚}_{\mathrm{𝟏}}\times {𝐚}_{\mathrm{𝟐}}}{{𝐚}_{\mathrm{𝟏}}\cdot ({𝐚}_{\mathrm{𝟐}}\times {𝐚}_{\mathrm{𝟑}})}.$

I vettori del reticolo reciproco sono legati alle famiglie di piani reticolari.

Esempi di reticoli reciproci

Cubico semplice

Se si scelgono come vettori primitivi dello spazio diretto

${𝐚}_{\mathrm{𝟏}}=a𝐢{𝐚}_{\mathrm{𝟐}}=a𝐣{𝐚}_{\mathrm{𝟑}}=a𝐤$

Allora essendo:

$V={𝐚}_{\mathrm{𝟏}}\cdot ({𝐚}_{\mathrm{𝟐}}\times {𝐚}_{\mathrm{𝟑}})=a^3$

i vettori primitivi dello spazio reciproco sono:

${𝐛}_{\mathrm{𝟏}}=\frac{2\pi }{a}𝐢{𝐛}_{\mathrm{𝟐}}=\frac{2\pi }{a}𝐣{𝐛}_{\mathrm{𝟑}}=\frac{2\pi }{a}𝐤$

Cioè il reticolo reciproco è cubico semplice come il reticolo dello spazio diretto, ma con passo reticolare $2\pi /a$.

Reticolo cubico a corpo centrato

Se si scelgono come vettori primitivi dello spazio diretto (tale scelta è quella più simmetrica):

${𝐚}_{\mathrm{𝟏}}=\frac{a}{2}(𝐣+𝐤-𝐢)$

${𝐚}_{\mathrm{𝟐}}=\frac{a}{2}(𝐤+𝐢-𝐣)$

${𝐚}_{\mathrm{𝟑}}=\frac{a}{2}(𝐢+𝐣-𝐤)$

in questo caso i vettori primitivi del reticolo reciproco saranno:

${𝐛}_{\mathrm{𝟏}}=\frac{2\pi }{a}(𝐣+𝐤)$

${𝐛}_{\mathrm{𝟐}}=\frac{2\pi }{a}(𝐤+𝐢)$

${𝐛}_{\mathrm{𝟑}}=\frac{2\pi }{a}(𝐢+𝐣)$

Reticolo cubico a facce centrate

Se si scelgono come vettori primitivi dello spazio diretto:

${𝐚}_{\mathrm{𝟏}}=\frac{a}{2}(𝐣+𝐤)$

${𝐚}_{\mathrm{𝟐}}=\frac{a}{2}(𝐤+𝐢)$

${𝐚}_{\mathrm{𝟑}}=\frac{a}{2}(𝐢+𝐣)$

in questo caso i vettori primitivi del reticolo reciproco saranno:

${𝐛}_{\mathrm{𝟏}}=\frac{2\pi }{a}(𝐣+𝐤-𝐢)$

${𝐛}_{\mathrm{𝟐}}=\frac{2\pi }{a}(𝐤+𝐢-𝐣)$

${𝐛}_{\mathrm{𝟑}}=\frac{2\pi }{a}(𝐢+𝐣-𝐤)$

Cioè il reticolo reciproco dell'fcc è un bcc, mentre del bcc è un fcc, entrambi con passo reticolare $4\pi /a$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Reticolo di Bravais
• Cristallo
• Cristallografia
• Sistema cristallino

Collegamenti esterni

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