Relazione ternaria

In matematica, una relazione ternaria o relazione triadica è una relazione in cui il numero di posti nella relazione è tre. Le relazioni ternarie possono anche essere indicate come 3-adiche, 3-arie o 3-dimensionali.

Così come una relazione binaria è formalmente definita come un insieme di coppie, cioè un sottoinsieme del prodotto cartesiano Template:Tutto attaccato di due insiemi A e B, così una relazione ternaria è un insieme di triple, formanti un sottoinsieme del prodotto cartesiano Template:Tutto attaccato di tre insiemi A, B e C.

Un esempio di relazione ternaria in geometria elementare può essere dato sulle triple di punti, dove una terna è nella relazione se i tre punti sono collineari. Un altro esempio geometrico può essere ottenuto considerando delle terne costituite da due punti e una retta, dove una terna è nella relazione ternaria se i due punti determinano (sono incidenti a) la retta.

Esempi

Funzioni binarie

Una funzione Template:Tutto attaccato in due variabili associa ad ogni coppia (a, b) in Template:Tutto attaccato un elemento f(a, b) in C. Pertanto, il suo grafico è costituito da coppie della forma Template:Tutto attaccato. Tali coppie, in cui il primo elemento è esso stesso una coppia, possono essere viste come triple. Ciò rende il grafico di f una relazione ternaria tra A, B e C, costituito da tutte le triple Template:Tutto attaccato, con Template:Tutto attaccato e Template:Tutto attaccato.

Ordini ciclici

Dato un qualsiasi insieme A i cui elementi sono disposti su una circonferenza, si può definire una relazione ternaria R su A, cioè un sottoinsieme di A³ = Template:Tutto attaccato, stabilendo che Template:Tutto attaccato vale se e solo se gli elementi a, b e c sono a due a due diversi e andando da a a c in senso orario si passa per b. Ad esempio, se A = Template:Tutto attaccato rappresenta le ore sul quadrante di un orologio, allora Template:Tutto attaccato è vero e Template:Tutto attaccato è falso.

Relazione di congruenza

La congruenza ordinaria dell'aritmetica

$a\equiv b(\mathrm{mod}m)$

che vale per tre numeri interi a, b e m se e solo se m divide a − b, formalmente può essere considerata come una relazione ternaria. Tuttavia, solitamente, viene invece considerata come una famiglia di relazioni binarie tra a e b, indicizzate dal modulo m. Infatti, per ogni m fissato, questa relazione binaria ha alcune proprietà naturali, come essere una relazione di equivalenza, mentre in generale la relazione ternaria risultante non è studiata come relazione unica.

Relazione di tipizzazione

Una relazione di tipizzazione $\mathrm{\Gamma }⊢e:\sigma$ indica che $e$ è un termine di tipo $\sigma$ nel contesto $\mathrm{\Gamma }$, ed è quindi una relazione ternaria tra contesti, termini e tipi.

Regole di Schröder

Date le relazioni omogenee A, B, e C su un insieme, una relazione ternaria $(A,B,C)$ può essere definita usando la composizione delle relazioni AB e l'inclusione AB ⊆ C. All'interno del calcolo delle relazioni, ogni relazione $A$ ha una relazione inversa $A^T$ e una relazione complemento $\overline{A}$. Usando queste involuzioni, Augustus De Morgan ed Ernst Schröder hanno dimostrato che $(A,B,C)$ è equivalente a $(\overline{C},B^T,\overline{A})$ e anche equivalente a $(A^T,\overline{C},\overline{B})$. Le mutue equivalenze di queste forme, costruite dalla relazione ternaria $(A,B,C)$, sono chiamate regole di Schröder.

Bibliografia

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