Rappresentazioni dei gruppi di Lie
Si dice rappresentazione di un gruppo di Lie su uno spazio vettoriale un omomorfismo sotto il quale ogni elemento in è mappato in un elemento dello spazio degli operatori lineari invertibili agenti su e consistenti con le operazioni di gruppo.
Definizione
Una rappresentazione di un gruppo sullo spazio vettoriale è un omomorfismo
Dove è invertibile e tale da rispettare le operazioni definenti il gruppo:
dove rappresenta l'operatore inverso a .
Rappresentazione di algebre di Lie
Corrispondentemente alla rappresentazione di gruppo di Lie esiste quella della sua Algebra nello stesso spazio vettoriale V. La rappresentazione di un'algebra di Lie su uno spazio vettoriale è una mappa che manda ogni elemento in un elemento dello spazio delle applicazioni lineari dello spazio vettoriale V coerente con le operazioni dell'algebra:
Perciò il prodotto di Lie viene mandato nel commutatore degli operatori.
Connessione tra rappresentazioni di gruppo e di algebra
Data T(G) rappresentazione del gruppo di Lie G nello spazio V è possibile costruire la rappresentazione della corrispondente algebra di Lie AG.
Dove è un elemento del gruppo G vicino all'unità, e di conseguenza A è un elemento dell'algebra di Lie. Nonostante ciò non ogni rappresentazione di algebra è costruita da rappresentazione di gruppi.
Esiste sempre una rappresentazione dell'algebra di dimensione n in termini di matrici nxn: questa è la rappresentazione aggiunta.
Bibliografia
- Fulton-Harris Introduction to representation theory with emphasis on Lie groups.
- Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
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