Rapidità (relatività ristretta)

Nella teoria della relatività ristretta, la rapidità (da non confondere con la pseudorapidità) è una grandezza introdotta per poter scrivere le trasformazioni di Lorentz in maniera concisa. Questa grandezza $\overrightarrow{\zeta }$ è definita come:

${\zeta }_i=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+{\beta }_i}{1-{\beta }_i}\right)$

tale che $\beta =\tanh \zeta$, con ${\beta }_i=\frac{v_i}{c}$

Uso

Definendo come di consuetudine:

$\gamma =(1-{\beta }^2{)}^{-\frac{1}{2}}$

un boost di Lorentz lungo la direzione $x_1$

$\{\begin{array}{c}{x}_0^{\prime }=\gamma (x_0-\beta x_1)\\ x_1^{\prime }=\gamma (x_1-\beta x_0)\\ x_2^{\prime }=x_2\\ x_3^{\prime }=x_3\end{array}$

usando le relazioni $\gamma =\cosh ({\zeta }_1)$ e $\gamma \beta =\sinh ({\zeta }_1)$ può essere scritto come:

$\{\begin{array}{c}{x}_0^{\prime }=x_0\cosh {\zeta }_1-x_1\sinh {\zeta }_1\\ x_1^{\prime }=-x_0\sinh {\zeta }_1+x_1\cosh {\zeta }_1\\ x_2^{\prime }=x_2\\ x_3^{\prime }=x_3\end{array}$

che è l'espressione di una rotazione immaginaria. La più generale trasformazione di Lorentz, esprimibile tramite la matrice $\mathrm{\Lambda }$, prende la forma

$\mathrm{\Lambda }=e^{-\overrightarrow{\zeta }\cdot \overrightarrow{K}-\overrightarrow{\omega }\cdot \overrightarrow{S}}$

dove

$\overrightarrow{S}=(S_1,S_2,S_3)$ e $\overrightarrow{K}=(K_1,K_2,K_3)$.

Le coordinate di $\overrightarrow{S}$ e $\overrightarrow{K}$ sono i generatori del gruppo di Lorentz.

$S_1=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)S_2=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\end{array}\right)S_3=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

$K_1=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)K_2=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)K_3=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right)$

e generano rispettivamente le rotazioni attorno ai tre assi cartesiani, e i boost di Lorentz lungo tali assi. Il restante parametro $\overrightarrow{\omega }$ ha come coordinate gli angoli di rotazione attorno ai tre assi spaziali.

Proprietà

Un'ultima considerazione riguarda le rapidità di particelle viste in diversi sistemi di riferimento. Se prendiamo in considerazione come parametri per la descrizione del sistema l'impulso e la rapidità della particella si ha:

$\widetilde{{\zeta }_i}={\zeta }_i-Z$

dove se indichiamo con $\tilde{k}$ un altro sistema di riferimento, con $k_i$ il sistema di riferimento solidale alla $i$-esima particella, e se indichiamo con una freccia una particolare trasformazione di Lorentz abbiamo:

$k\stackrel{{\zeta }_i}{\to }{k}_i\stackrel{\widetilde{{\zeta }_i}}{\leftarrow }\tilde{k}$

e la $Z$ è la rapidità della trasformazione da $k$ a $\tilde{k}$. Dimostriamolo. Intanto assegniamo al sistema $\tilde{k}$ i parametri $\overrightarrow{B}$ e $\mathrm{\Gamma }$ che ne definiscono il moto rispetto a $k$.

$\ln \left(\frac{p_0+p_z}{p_0-p_z}\right)=2\zeta \ln \left(\frac{{\tilde{p}}_0+{\tilde{p}}_z}{{\tilde{p}}_0-{\tilde{p}}_z}\right)=2\tilde{\zeta }$

$2(\tilde{\zeta }-\zeta )=\ln \left[\frac{({\tilde{p}}_0+{\tilde{p}}_z)(p_0-p_z)}{({\tilde{p}}_0-{\tilde{p}}_z)(p_0+p_z)}\right]$

$\begin{array}{c}{\tilde{p}}_0=\mathrm{\Gamma }(p_0-B{p}_z)\\ {\tilde{p}}_z=\mathrm{\Gamma }(p_z-B{p}_0)\end{array}\text{ con }\mathrm{\Gamma }=\frac{1}{\sqrt{1-B^2}}$

${\tilde{p}}_0+{\tilde{p}}_z=\mathrm{\Gamma }(p_0+p_z)(1-B)\text{ e }{\tilde{p}}_0-{\tilde{p}}_z=\mathrm{\Gamma }(p_0-p_z)(1+B)$

quindi

$2(\tilde{\zeta }-\zeta )=\ln \left(\frac{1-B}{1+B}\right)=\ln \left(\frac{\cosh Z-\sinh Z}{\sinh Z+\cosh Z}\right)=\ln \left(\frac{e^{-Z}+e^{-Z}}{e^Z+e^Z}\right)=\ln e^{-2Z}=-2Z$

La comodità di utilizzare come parametri $\overrightarrow{p}$ e $\zeta$ è quella per cui in due diversi sistemi di riferimento le rapidità delle particelle risultano traslate di un valore fisso $Z$ che rappresenta la rapidità della trasformazione di Lorentz che collega i due sistemi di riferimento.

Collegamenti esterni

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