Quasi omomorfismo

Un quasi omomorfismo è un'applicazione da $\mathbb{Z}$ in sé che può essere considerata una generalizzazione degli omomorfismi.

Definizione

Una funzione $f:\mathbb{Z}⟶\mathbb{Z}$ si dice quasi omomorfismo se $\mathrm{\exists }k\in \mathbb{N}$ tale che $\mathrm{\forall }n,m\in \mathbb{Z}$:

$|f(n+m)-f(n)-f(m)|\le k.$

Naturalmente se k=0 si è in presenza di un omomorfismo.

Proprietà

Sia $f:\mathbb{Z}⟶\mathbb{Z}$ un quasi omomorfismo con costante $k\in \mathbb{N}$:

• $\mathrm{\forall }n,m\in \mathbb{Z}:|f(m\cdot n)-m\cdot f(n)|\le (|m|+1)\cdot k$;
• $\mathrm{\forall }n,m\in \mathbb{Z}:|n\cdot f(m)-m\cdot f(n)|\le (|n|+|m|+2)\cdot k$;
• Ad ogni quasi omomorfismo corrisponde una successione di Cauchy e viceversa.

Classi di equivalenza

Si può definire una relazione tra quasi omomorfismi nel modo seguente:

Siano $f,g$ quasi omomorfismi, $f\sim g\leftrightarrow \mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z},\mathrm{\exists }k\in \mathbb{N}$ tale che $|f(n)-g(n)|\le k.$

Si dimostra facilmente che $\sim$ è una relazione d'equivalenza. Si dimostra anche che ad ogni classe di equivalenza di quasi omomorfismi $[f{]}_{\sim }$ corrisponde una classe di successioni di Cauchy $[a_n]$. Con questo risultato si scopre che è possibile costruire l'insieme dei numeri reali $ℝ$ a partire da $\mathbb{Z}$ utilizzando classi di quasi omomorfismi.

Voci correlate

• Morfismo
• Omomorfismo