Terna pitagorica

Template:NN Una terna pitagorica è una terna di numeri naturali $a$, $b$, $c$ tali che $a^2+b^2=c^2$. Il nome deriva dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica e viceversa.

Tavoletta babilonese riportante una serie di terne pitagoriche

Se $(a,b,c)$ è una terna pitagorica, lo è anche $(da,db,dc)$, dove $d$ è un numero naturale qualsiasi. Il numero $d$ è quindi un divisore comune dei tre numeri $da$, $db$, $dc$. Una terna pitagorica si dice primitiva se $a$, $b$ e $c$ non hanno divisori comuni. I triangoli descritti da terne pitagoriche non primitive sono sempre simili a quelli descritti dalla corrispondente terna primitiva.

Formula di Euclide per trovare le terne

Esiste una formula capace di generare tutte le terne pitagoriche primitive; tali formule sono citate da Euclide (Template:Greco antico) nei suoi Elementi (Template:Greco antico):

$a=m^2-n^2;b=2mn;c=m^2+n^2.$

Le formule di Euclide generano una terna pitagorica primitiva se e solo se $m$ e $n$ sono coprimi, cioè se non hanno divisori comuni diversi da 1, ed uno di loro è pari e l'altro dispari (se sia $n$ che $m$ sono dispari $a$, $b$ e $c$ sono pari, e quindi quella terna pitagorica non può essere primitiva). Tutte le terne primitive si possono ottenere in questo modo da un'unica coppia di numeri coprimi $m>n$, mentre le restanti (non primitive) si possono ottenere moltiplicando i termini di una terna primitiva per un opportuno fattore. Le formule così modificate sono quindi in grado di generare tutte le terne possibili, anche se in modo non univoco:

$a=k\cdot (m^2-n^2);b=k\cdot (2mn);c=k\cdot (m^2+n^2).$

Una conseguenza immediata di queste formule è che le terne pitagoriche sono infinite, in quanto sono infinite le possibili scelte di $m$ e $n$.

Dimostrazione

Il prodotto di $a$ per $b$ (dei due cateti) è sempre divisibile per $12$ ($=3\cdot 4$), mentre il prodotto $abc$ (di tutti e tre i lati del triangolo pitagorico) è sempre divisibile per $60$ ($=3\cdot 4\cdot 5$). Infatti modulo $3$ e modulo $4$ si hanno solo $0$ e $1$ come quadrati, quindi, se $N=3$ o $N=4$, si ha che se $m^2\equiv 0modN$ oppure $n^2\equiv 0modN,$ allora $m\equiv 0modN$ oppure $n\equiv 0modN$ e quindi $b\equiv 0modN;$ se invece $m^2\equiv n^2\equiv 1modN,$ allora $a\equiv 0modN.$ Di conseguenza $ab\equiv 0mod12.$ Infine, poiché modulo $5$ i quadrati sono $0,\pm 1,$ se $m^2\equiv 0mod5$ oppure $n^2\equiv 0mod5$ oppure $m^2\equiv n^2\equiv 1mod5$ oppure $m^2\equiv n^2\equiv -1mod5,$ ragionando analogamente si ha che $ab\equiv 0mod5;$ se invece $m^2\equiv -n^2\equiv 1mod5$ oppure $m^2\equiv -n^2\equiv -1mod5,$ allora $c\equiv 0mod5.$ Quindi, in tutti i casi $abc\equiv 0mod5$ da cui $abc\equiv 0mod60.$

Terne pitagoriche con c < 100

Esistono solo 16 terne pitagoriche primitive con $c<100$:

$\begin{array}{cccc}(3,4,5)& (5,12,13)& (7,24,25)& (8,15,17)\\ (9,40,41)& (11,60,61)& (12,35,37)& (13,84,85)\\ (16,63,65)& (20,21,29)& (28,45,53)& (33,56,65)\\ (36,77,85)& (39,80,89)& (48,55,73)& (65,72,97)\end{array}$

Altri esempi di terne pitagoriche

$\begin{array}{cccc}(20,99,101)& (60,91,109)& (15,112,113)& (44,117,125)\\ (88,105,137)& (17,144,145)& (24,143,145)& (51,140,149)\\ (85,132,157)& (119,120,169)& (52,165,173)& (19,180,181)\\ (57,176,185)& (104,153,185)& (95,168,193)& (28,195,197)\\ (84,187,205)& (133,156,205)& (21,220,221)& (140,171,221)\\ (60,221,229)& (105,208,233)& (120,209,241)& (32,255,257)\\ (23,264,265)& (96,247,265)& (69,260,269)& (115,252,277)\\ (160,231,281)& (161,240,289)& (68,285,293)\end{array}$

Si noti che (in base ai prodotti notevoli)

$a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b).$

Si osservi che esistono più terne pitagoriche primitive con lo stesso intero minore. Il più piccolo caso è $20$, appartenente a: $(20,21,29)$ e $(20,99,101)$.
Il numero $1229779565176982820$ è l'intero minore in esattamente $15386$ terne primitive; la più piccola e la più grande fra queste sono:

$(1229779565176982820,1230126649417435981,1739416382736996181)$

e

$(1229779565176982820,378089444731722233953867379643788099,378089444731722233953867379643788101).$

Si consideri la fattorizzazione:

$1229779565176982820=2^2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29\times 31\times 37\times 41\times 43\times 47.$

L'ultimo teorema di Fermat afferma che non esistono terne non banali analoghe a quelle pitagoriche ma con esponenti maggiori di $2$ (cioè che l'equazione $a^n+b^n=c^n$ non ammette soluzioni intere se $n>2$; esclusi i casi banali in cui almeno uno dei numeri è uguale a zero).

Un legame tra terne pitagoriche e primi gemelli può essere stabilito tramite la derivata aritmetica. Infatti un semiprimo i cui fattori primi siano due primi gemelli può essere espresso come $n=p(p+2)$, la sua derivata aritmetica come $n^{\prime }=2(p+1)$ e $\sqrt{n^2+n{\text{'}}^2}=(p+1{)}^2+1=p(p+2)+2=n+2$. Questi numeri sono fra loro coprimi e perciò costituiscono una terna pitagorica primitiva.

Ciascun numero naturale maggiore di 2 appartiene almeno a una terna pitagorica e ogni numero primo può appartenere al più a 2 terne (in quest'ultima situazione una volta come cateto e una volta come ipotenusa del triangolo rettangolo cui si riferisce).

Collegamenti esterni

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