Funzione q-esponenziale

Template:F Nella matematica combinatoria e nello studio delle funzioni speciali il termine q-esponenziale viene usato per due q-analoghi della classica funzione esponenziale.

Definizioni

Consideriamo le seguenti funzioni

e_{q} (z) : = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{(q; q)_{n}} = \prod_{n = 0}^{\infty} (1 - z q^{n})^{- 1} = \frac{1}{(z; q)_{\infty}}

e

E_{q} (z) : = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{q^{(\binom{n}{2})} z^{n}}{(q; q)_{n}} = \prod_{n = 0}^{\infty} (1 + q^{n} z) = (- z; q)_{\infty}

.

dove

(z; q)_{n} : = (1 - z) (1 - z q) \dots (1 - z q^{n - 1})

è il q-fattoriale crescente. Che la prima funzione costituisca un q-analogo dell'esponenziale ordinario segue dalla proprietà

{(\frac{d}{d z})}_{q} e_{q} (z) = e_{q} (z)

dove l'operatore di derivazione a sinistra è la q-derivata. L'identità precedente si verifica facilmente considerando la q-derivata del monomio

{(\frac{d}{d z})}_{q} z^{n} = z^{n - 1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q} = [n]_{q} z^{n - 1}

.

Qui $[n]_{q}$ denota il q-bracket.

Per q reale con $q < 1$ la funzione $e_{q} (z)$ è una funzione intera di z.

In termini della q-serie ipergeometrica, la prima funzione q-esponenziale $e_{q} (t)$ viene espressa da

e_{q} (z) =_{1} ϕ_{0} (0; q, z)

.

Esiste una simile espressione per la seconda funzione in termini della q-serie ipergeometrica generalizzata.