Punto singolare di una curva

Una cuspide nell'origine del grafico della curva y² = x³

In geometria, un punto singolare di una curva è un punto per il quale la curva non è rappresentata da una funzione liscia. La definizione precisa dipende dal tipo di curva che si considera.

Curve algebriche nel piano

Una curva algebrica nel piano è definita come il luogo geometrico dei punti $(x,y)$ del piano che soddisfano una equazione nella forma $f(x,y)=0$ dove $f$ è una funzione polinomiale $f:{ℝ}^2\to ℝ$

$f(x,y)=a_0+b_{0}x+b_{1}y+c_0{x}^2+2c_{1}xy+c_2{y}^2+\dots$

Se l'origine $(0,0)$ appartiene alla curva allora $a_0=0$. Se $b_1\ne 0$ allora il teorema delle funzioni implicite assicura che esiste una funzione liscia $h$ tale che la curva ha la forma $y=h(x)$ in un intorno dell'origine. Analogamente, se $b_0\ne 0$ allora esiste una funzione liscia $k$ tale che la curva ha la forma $x=k(y)$ in un intorno dell'origine. In entrambi i casi, esiste una mappa regolare da $ℝ$ al piano sul quale è definita la curva in un intorno dell'origine. Nell'origine si ha che

$b_0=\frac{\partial f}{\partial x},b_1=\frac{\partial f}{\partial y},$

per cui la curva è non singolare, o regolare, nell'origine se almeno una delle derivate parziali di $f$ è non nulla. I punti singolari sono quei punti della curva nei quali si annulla il gradiente di $f$:

$f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}=0.$

Punti di regolarità

Assumendo che la curva passi per l'origine e ponendo $y=mx$, $f$ può essere scritta come

$f=(b_0+m{b}_1)x+(c_0+2m{c}_1+c_2{m}^2)x^2+\dots .$

Se $b_0+m{b}_1\ne 0$ allora $f=0$ ha una soluzione di molteplicità $1$ per $x=0$ e l'origine è un punto di contatto di ordine $1$ con la retta $y=mx$.

Se $b_0+m{b}_1=0$ allora $f=0$ ha una soluzione di molteplicità maggiore o uguale a $2$ e la retta $y=mx$ ovvero $b_{0}x+b_{1}y=0$ è tangente alla curva. In tale caso, se $c_0+2m{c}_1+c_2{m}^2\ne 0$ allora la curva ha un punto di contatto di ordine $2$ con $y=mx$.

Se il coefficiente di $x^2$ è nullo ovvero se $c_0+2m{c}_1+c_2{m}^2=0$ ma non è nullo il coefficiente di $x^3$ allora l'origine è un punto di flesso della curva. Se entrambi i coefficienti di $x^2$ e $x^3$ sono nulli allora l'origine è un punto di ondulazione. Tale analisi si generalizza ad ogni punto della curva, traslandola in modo che il punto di interesse vada a cadere nell'origine.

Punti doppi

Tre limaçon: la curva a sinistra ha un punto doppio isolato nell'origine, quella al centro (cardioide) ha una cuspide nell'origine, quella a destra ha un nodo (autointersezione) nell'origine.

Se $b_0$ e $b_1$ sono entrambi nulli ma almeno uno tra $c_0$, $c_1$ e $c_2$ è non nullo allora l'origine è un punto doppio per la curva. Ponendo $y=mx$ , $f$ può essere scritta come

$f=(c_0+2m{c}_1+c_2{m}^2)x^2+(d_0+3m{d}_1+3m^2{d}_2+d_3{m}^3)x^3+\dots .$

I punti doppi possono essere classificati secondo le soluzioni di $c_0+2m{c}_1+c_2{m}^2=0$.

Nodi

Se $c_0+2m{c}_1+c_2{m}^2=0$ ha due soluzioni reali rispetto a $m$, ovvero se $c_0{c}_2-(c_1{)}^2<0$ allora l'origine è un nodo per la curva. In tale caso la curva ha un'autointersezione nell'origine e ha due tangenti distinte corrispondenti alle due soluzioni di $c_0+2m{c}_1+c_2{m}^2=0$. La funzione $f$ ha un punto di sella in corrispondenza.

Punti doppi isolati

Se $c_0+2m{c}_1+c_2{m}^2=0$ non ha soluzioni reali rispetto a $m$, ovvero se $c_0{c}_2-(c_1{)}^2>0$, allora l'origine è un punto doppio isolato (o nodo isolato). Nel piano reale è quindi un punto isolato, ma se si considera la curva complessa l'origine non è un punto isolato e ha due tangenti immaginarie, corrispondenti alle due soluzioni complesse di $c_0+2m{c}_1+c_2{m}^2=0$. La funzione $f$ ha un estremo locale in corrispondenza.

Cuspidi

Se $c_0+2m{c}_1+c_2{m}^2=0$ ha una soluzione di molteplicità $2$ rispetto a $m$, ovvero $c_0{c}_2-(c_1{)}^2=0$, allora l'origine è un punto di cuspide. La curva cambia direzione con un angolo netto nell'origine e ha una sola tangente, che può essere considerata come due tangenti coincidenti.

Ulteriori classificazioni

Il numero di nodi o cuspidi di una curva è uno dei due invarianti della formula di Plücker.

Se una delle soluzioni di $c_0+2m{c}_1+c_2{m}^2=0$ è anche soluzione di $d_0+3m{d}_1+3m^2{d}_2+d_3{m}^3=0$ allora il ramo corrispondente della curva ha un punto di flesso nell'origine, che in questo caso è un punto di flencnodo. Se entrambe le tangenti hanno questa proprietà, ovvero $c_0+2m{c}_1+c_2{m}^2=0$ è un fattore di $d_0+3m{d}_1+3m^2{d}_2+d_3{m}^3=0$, allora l'origine è un biflecnodo.

Punti multipli

La curva $f(t)=(\sin (2t)+\cos (t),\sin (t)+\cos (2t)$ ha un punto triplo nell'origine

In generale, se tutti i termini di grado inferiore a $k$ sono nulli, almeno un termine di grado $k$ è non nullo in $f$ e la curva ha un punto multiplo di ordine $k$. La curva avrà, in generale, $k$ tangenti nell'origine, anche se alcune di esse possono essere immaginarie.

Curve parametriche

Una curva parametrica in ${ℝ}^2$ è definita come l'immagine di una funzione $g:ℝ\to {ℝ}^2,g(t)=(g_1(t),g_2(t))$. I punti singolari sono quelli per i quali si annulla il gradiente di $g$, ovvero

$\frac{d{g}_1}{dt}=\frac{d{g}_2}{dt}=0.$

Molte curve possono essere definite in questa maniera, ma le definizioni di singolarità possono non essere sempre concordi. La cuspide è singolare in entrambe le definizioni, un esempio è la curva seguente che ha una cuspide nell'origine, e può essere definita implicitamente come $x^3-y^2=0$ o in forma parametrica come $g(t)=(t^2,t^3)$. Nel caso dei nodi non è sempre questo il caso, ad esempio nella curva $y^2-x^3-x^2=0$, l'origine è un punto singolare se si considera la curva definita implicitamente in forma algebrica, ma considerando la parametrizzazione $g(t)=(t^2-1,t^3-t)$, si ha che $g^{\prime }(t)=(2t,3t^2-1)$ non si annulla mai, e il nodo non è un punto singolare per la parametrizzazione.

È necessario prestare attenzione nella scelta della parametrizzazione: ad esempio la retta $y=0$ parametrizzata da $g(t)=(t^3,0)$ ha una singolarità nell'origine, mentre quando è parametrizzata da $g(t)=(t,0)$ non ha singolarità. Per questo motivo, è più opportuno parlare di punto singolare di una parametrizzazione regolare piuttosto che di punto singolare della curva in sé.

La precedente definizione può essere estesa per coprire i punti singolari delle curve implicite, che sono definiti come insieme degli zeri $f^{-1}(0)$ di una funzione liscia, e può essere estesa per curve in più dimensioni.

Un teorema di Hassler Whitney afferma che ogni insieme chiuso in ${ℝ}^n$ è l'insieme degli zeri $f^{-1}(0)$ di una opportuna funzione liscia $f:{ℝ}^n\to ℝ$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Teoria di Morse
• Teoria delle singolarità
• Curva (matematica)
• Curva piana
• Curva nello spazio
• Cuspide (matematica)
• Punto angoloso