Proprietà di cancellazione

Template:F In algebra, sono dette proprietà di cancellazione o di semplificazione le seguenti: sia $(G;\star )$ un gruppo; allora presi tre elementi $a,b,c\in G$ valgono le implicazioni

• $a\star b=a\star c⟹b=c$ (cancellazione a sinistra)
• $a\star b=c\star b⟹a=c$ (cancellazione a destra)

Le due proprietà sono equivalenti se $G$ è un gruppo abeliano.

Per dimostrare tale proprietà è sufficiente tenere presente la proprietà associativa, il fatto che in un gruppo ogni elemento ha elemento inverso e che esiste l'elemento neutro. Ad esempio, per provare la legge di cancellazione a sinistra è sufficiente osservare che se $a\star b=a\star c$ allora

$b=e\star b=(a^{-1}\star a)\star b=a^{-1}\star (a\star b)=a^{-1}\star (a\star c)=(a^{-1}\star a)\star c=e\star c=c,$

dove abbiamo indicato con $e$ l'elemento neutro di $G$. La legge di cancellazione a destra si prova in modo del tutto analogo.

È importante osservare che le proprietà di cancellazione possono valere anche in insiemi che non sono gruppi, e quindi la validità delle proprietà di cancellazione in un insieme $(S;\star )$ non è in generale condizione sufficiente per stabilire che $(S;\star )$ è gruppo.

Un magma in cui vale la proprietà di cancellazione a sinistra (rispettivamente a destra) si dice cancellativo a sinistra (rispettivamente a destra). Un quasigruppo è sempre cancellativo.

Esempi

• I numeri naturali formano un monoide cancellativo rispetto all'addizione.
• L'insieme delle matrici quadrate con il prodotto non soddisfa tale proprietà: se $AB=AC$ e $A\ne 0$, allora la cancellazione vale solo se $A$ è invertibile. Se invece $\det (A)=0$, allora l'equazione matriciale $AX=B$ non ha un'unica soluzione.

Voci correlate

• Gruppo (matematica)
• Quasigruppo
• Magma (matematica)

Collegamenti esterni

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