Proprietà dell'intersezione finita

Template:F La proprietà dell'intersezione finita in topologia è una proprietà di alcune famiglie non vuote di insiemi non vuoti.

Definizione

Sia $\mathscr{H}$ una famiglia non vuota di insiemi non vuoti, si dice che $\mathscr{H}$ ha la proprietà dell'intersezione finita (PIF) se per ogni sottoinsieme finito $\{{\mathrm{A}}_1,...,{\mathrm{A}}_n\}\subseteq \mathscr{H}$ si ha che ${\mathrm{A}}_1\cap ...\cap {\mathrm{A}}_n\ne \mathrm{\varnothing }$.

Teoremi e risultati

Dato $\mathrm{X}\ne \mathrm{\varnothing }$, sia $\mathscr{H}\subset 𝔓(\mathrm{X})$ una famiglia di sottoinsiemi di $\mathrm{X}$. Se $\mathscr{H}$ ha la PIF, allora l'insieme $ℱ=\{\mathrm{A}\subseteq \mathrm{X}:\mathrm{\exists }{\mathrm{A}}_1,...,{\mathrm{A}}_n\in \mathscr{H}:{\mathrm{A}}_1\cap ...\cap {\mathrm{A}}_n\subseteq \mathrm{A}\}$ è un filtro su $\mathrm{X}$

Lemma dell'ultrafiltro

Dato $\mathrm{X}\ne \mathrm{\varnothing }$, sia $\mathscr{H}\subset 𝔓(\mathrm{X})$ una famiglia di sottoinsiemi di $\mathrm{X}$ con la PIF, allora $\mathscr{H}$ è contenuto in un ultrafiltro.

La proprietà dell'intersezione finita viene usata nelle dimostrazioni di alcuni risultati come il teorema di compattezza semantica.