Ultrafiltro

In teoria degli insiemi un ultrafiltro $𝒜$ è un filtro proprio sull'insieme $A$ tale che ogni sottoinsieme di $A$ o il suo complemento appartiene ad $𝒜$, in formule

$\mathrm{\forall }X\subseteq A:(X\in 𝒜)\vee (\overline{X}\in 𝒜)$

Sia il concetto di filtro che di ultrafiltro furono introdotti da Henri Cartan nel 1937.

Proprietà

Ogni filtro principale è un ultrafiltro, per dimostrare ciò sia $x$ un elemento di $A$, e $𝒜$ il filtro principale generato da $x$. Allora, per ogni sottoinsieme $S$ di $A$, se $x\in S$, allora $S\in 𝒜$. Se invece $x\in ̸S$, per la definizione di insieme complemento, $x\in \overline{S}$ e quindi $\overline{S}\in 𝒜$.

In base a ciò, e senza perdita di generalità, l'ultrafiltro può anche intendersi come un filtro massimale su un'algebra di Boole.

Il filtro cofinito, cioè l'insieme $𝒮$ dei sottoinsiemi cofiniti di $A$, non è un ultrafiltro. Infatti sia $S$ un sottoinsieme cofinito, ossia che contiene tutti gli elementi di $A$ tranne un numero finito. Se $A$ è finito, $𝒮$ non è un filtro proprio: infatti l'insieme $A\setminus \{x\}$ ottenuto togliendo un elemento all'insieme di partenza è cofinito, e dunque sta in $𝒮$, ma contiene $\varnothing$ e dunque non è un filtro proprio. Se invece $A$ è infinito, $\mathrm{\exists }X\subset A$ tale che sia $X$ che $\overline{X}$ sono infiniti, e dunque né l'uno né l'altro sono in $𝒮$.

Ultrafiltro libero

Un ultrafiltro $𝒰$ su di un insieme $A$ si definisce libero quando contiene il filtro cofinito $F_A$.

Si può dimostrare che è impossibile definire un procedimento che consenta di costruire un ultrafiltro libero.

Bibliografia

• Template:Cita pubblicazione

Voci correlate

• Teoria degli insiemi
• Numero iperreale