Profondità (algebra)

In algebra commutativa, la profondità (o grado) di un modulo è un invariante usato specialmente nello studio degli anelli noetheriani. In particolare, è usato per definire gli anelli di Cohen-Macaulay.

Successioni regolari

Sia $I$ un ideale di un anello commutativo unitario $A$ e sia $M$ un $A$-modulo tale che $IM\ne M$. Una successione $a_1,\dots ,a_n$ di elementi di $I$ è una $I$-successione regolare di $M$ se, per ogni $i$ compreso tra $1$ ed $n$ l'elemento $a_i$ non è un divisore dello zero del modulo $M/(a_1,\dots ,a_{i-1})M$.

In generale, la permutazione di una successione regolare non è una successione regolare; ad esempio, se $K$ è un campo e $A=M=K[x,y,z]$ è l'anello dei polinomi in tre indeterminate, allora $(x-1)y,x,(x-1)z$ è una successione regolare, ma non lo è $(x-1)y,(x-1)z,x$, in quanto $(x-1)z$ è un divisore dello zero di $A/(x-1)yA$. Se $A$ è noetheriano, una condizione sufficiente perché ogni permutazione di una permutazione regolare sia ancora una successione regolare è che l'ideale $I$ sia contenuto nel radicale di Jacobson; in particolare, questo avviene se $A$ è un anello locale.

Una $I$-successione regolare $a_1,\dots ,a_n$ è massimale se non può essere ulteriormente allungata, ovvero se tutti gli elementi di $A$ sono divisori dello zero di $M/(a_1,\dots ,a_n)M$. In generale, due successioni regolari massimali possono avere lunghezze diverse; questo non avviene però se $A$ è un anello noetheriano e $M$ è un $A$-modulo finitamente generato.

Definizione

Sia $I$ un ideale di un anello commutativo unitario $A$ e sia $M$ un $A$-modulo tale che $IM\ne M$. La profondità di $M$ rispetto ad $I$ è la massima lunghezza di una $I$-successione regolare di $M$; se non vi sono $I$-successioni regolari, la profondità è 0, mentre se vi sono successioni arbitrariamente lunghe, o successioni infinite, la profondità è infinita. Viene indicata con ${\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_I(M)$ (dall'inglese depth = profondità).

Se $M=A$, allora ${\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_I(A)$ è indicato anche come $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(I)$ ed è detto la profondità di $I$. Se inoltre $A$ è un anello locale con ideale massimale $𝔪$, allora $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(𝔪)$ è chiamato profondità di $A$, ed è indicato con $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(A)$.

Nel caso degli anello noetheriani locali, una definizione equivalente può essere data attraverso l'algebra omologica: la $I$-profondità di $M$ è il minimo intero $i$ tale che ${\mathrm{Ext}}^i(R/I,M)\ne 0$ (dove $\mathrm{Ext}$ indica il funtore Ext).

Proprietà

Un modulo $M$ ha profondità 0 rispetto ad $I$ se e solo se $I$ è contenuto nell'insieme dei divisori dello zero di $M$; in particolare, $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(I)=0$ se e solo se tutti gli elementi di $I$ sono divisori dello zero. Di conseguenza, se $A$ è un dominio d'integrità allora tutti gli ideali non nulli (e, quindi, l'anello stesso) hanno profondità positiva.

Quando l'anello è noetheriano, si può legare la profondità di un ideale ad altre sue caratteristiche. In questo caso, la profondità di un ideale $I$ è uguale a quella del suo radicale, ed esiste sempre un ideale primo contenente $I$ che ha la stessa profondità di $I$. Questo permette, procedendo per induzione, di dimostrare che la profondità di $I$ è sempre minore o uguale della sua altezza. Un anello noetheriano tale che $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(I)=h(I)$ per ogni ideale $I$ è detto anello di Cohen-Macaulay.

Sempre nel caso noetheriano, la profondità di un modulo finitamente generato $M$ rispetto ad un ideale $I$ è sempre minore o uguale del numero di elementi necessari a generare $I$. Se inoltre $I=(a_1,\dots ,a_n)$ è contenuto nel radicale di Jacobson di $A$, allora ${\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_I(M)=n$ se e solo se $a_1,\dots ,a_n$ è una successione regolare. Questi due risultati sono noti come teoremi di unmixedness.

È anche possibile legare la profondità di un modulo con quella delle sue localizzazioni. Infatti, se $S$ è una parte moltiplicativa di $A$, allora una successione regolare $a_1,\dots ,a_n$ di $M$ è anche una successione regolare di $S^{-1}M$, purché $(a_1,\dots ,a_n)S^{-1}M\ne S^{-1}M$. In particolare, se $S^{-1}IM\ne S^{-1}M$, allora ${\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_I(M)\le {\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_{S^{-1}I}(S^{-1}M)$, e dunque $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(I)\le \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(S^{-1}I)$. Se $A$ è noetheriano, per ogni ideale $I$ esiste sempre un ideale massimale $𝔪$ che contiene $I$ tale che $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(I)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(I_{𝔪})$. In particolare, la profondità di $𝔪$ è uguale alla profondità dell'ideale massimale di $A_{𝔪}$.

Un'importante proprietà della profondità è espressa dalla formula di Auslander-Buchsbaum, che afferma che, se $A$ è un anello locale noetheriano ed $M$ è un $A$-modulo finitamente generato e di dimensione proiettiva ${\mathrm{p}\mathrm{d}}_A(M)$ finita, allora

${\mathrm{p}\mathrm{d}}_A(M)+\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(M)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(A)$.

Bibliografia

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Collegamenti esterni

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