Prodotto di Kulkarni-Nomizu

In geometria differenziale, il prodotto di Kulkarni–Nomizu è una specifica operazione algebrica tra tensori. Ad ogni coppia di tensori del tipo Template:Nowrap (i.e., due indici covarianti) il prodotto di Kulkarni–Nomizu associa un tensore del tipo Template:Nowrap (i.e., quattro indici covarianti).

Definizione

Se h e k sono due tensori simmetrici del tipo Template:Nowrap definiti su una varietà differenziabile M, allora il prodotto di Kulkarni–Nomizu è definito dalla formula:

$\begin{array}{cc}(h\wedge ◯k)(X_1,X_2,X_3,X_4):=& h(X_1,X_3)k(X_2,X_4)+h(X_2,X_4)k(X_1,X_3)\\ & -h(X_1,X_4)k(X_2,X_3)-h(X_2,X_3)k(X_1,X_4)\\ =& \left|\begin{array}{cc}h(X_1,X_3)& h(X_1,X_4)\\ k(X_2,X_3)& k(X_2,X_4)\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}k(X_1,X_3)& k(X_1,X_4)\\ h(X_2,X_3)& h(X_2,X_4)\end{array}\right|\end{array}$

dove X_j sono vettori tangenti e $|\cdot |$ denota il determinante di una matrice. Si noti che il prodotto di Kulkarni–Nomizu gode della proprietà $h\wedge ◯k=k\wedge ◯h$, come si vede facilmente dalla seconda espressione.

Rispetto alla base $\{{\partial }_i\}$ del fibrato tangente, esso assume la forma seguente

$(h\wedge ◯k{)}_{ijlm}=(h\wedge ◯k)({\partial }_i,{\partial }_j,{\partial }_l,{\partial }_m)=2h_{i[l}{k}_{m]j}+2h_{j[m}{k}_{l]i},$

dove $[\dots ]$ denota l'operazione di antisimmetrizzazione totale (su tutti gli indici considerati).

Il prodotto Kulkarni–Nomizu è un caso speciale del prodotto nell'algebra graduata

$\underset{p=1}{\overset{n}{⨁}}{S}^2\left({\mathrm{\Omega }}^{p}M\right),$

dove, sugli elementi semplici,

$(\alpha \cdot \beta )\wedge ◯(\gamma \cdot \delta )=(\alpha \wedge \gamma )\odot (\beta \wedge \delta )$

($\odot$ denota il prodotto simmetrico tra tensori.

Bibliografia

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